ley de senos

LECCIÓN

Trigonometría del triángulo
rectángulo

CONDENSADA

12.1
En esta lección
●
●
●

aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo
usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales
desconocidas de un triángulo rectángulo
usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos
desconocidas en un triángulo rectánguloSupón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está
tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes
medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón
trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo.
La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulosrectángulos
con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen
las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus
lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres
especiales para las razones.
Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,
el seno (sin) de ЄA es la razón entre la longitud del catetoopuesto a ЄA y la longitud de la hipotenusa.
cateto opuesto
a
sin A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏcᎏ
hipotenusa
El coseno (cos) de ЄA es la razón entre la longitud del
cateto adyacente a ЄA y la longitud de la hipotenusa.
cateto adyacente
b
cos A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏcᎏ
hipotenusa

Hipotenusa
B
c
a

A

Este cateto es
opuesto a A.

b
Este cateto es
adyacente a A.

C

La tangente (tan) de ЄA es la razón entrela longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente.
cateto opuesto
a
tan A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
cateto adyacente
b
Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Halla la longitud desconocida, c.
B
14

c
25

C
ᮣ

Solución

A

Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud
de la hipotenusa. Porconsiguiente, puedes usar la razón seno.
14
sin 25° ϭ ᎏcᎏ
14
c ϭ ᎏ Ϸ 33.13
sin 25°
(continúa)

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 12

177

Lección 12.1 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación)
El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una
1
1
razón dada. Por ejemplo, sin 30° ϭ _, porlo tanto sinϪ1 ΂ _ ΃ ϭ 30°. El Ejemplo B
2
2
en tu libro usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo atentamente.

Investigación: Escalones empinados
Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Completa los Pasos 1–4
de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes.
Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínimadistancia horizontal.
Paso 1

Sea x el ángulo de inclinación. Dado que tanto el piso como la distancia
horizontal son horizontales (y, de este modo, paralelos), el ángulo
entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. Conoces la
longitud de los lados opuestos y adyacentes, por lo tanto usa la
tangente para resolver para x.
7.75
tan x ϭ ____
10
7.75
x ϭ tanϪ1 ____ Ϸ 37.8°
10El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°.

10 in.
x

7.75 in.
x

ͩ ͪ

Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una
serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de
6.5 in, y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11.5 in y una unidad de distancia
vertical de 6 in. Los ángulos deinclinación respectivos para estos tramos de escalera se
6.5
6
obtienen por tanϪ1 ΂__΃ Ϸ 30.6° y tanϪ1 ΂___΃ Ϸ 27.6°.
11
11.5
Paso 2

Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo
con una unidad de distancia vertical de 8.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in.
8.75
El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tanϪ1 ΂___΃ ϭ...