Ley de Steiner




OBJETIVOS



Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.

Notar la relación de centro de inercia con periodo del péndulo físico.

Comprobar el teorema de Steiner.























INSTRUMENTOS

Equipo:

Una barra metálica de longitud L con huecos.
Un soporte demadera con cuchilla.
Dos mordazas simples.
Un cronómetro digital.
Una regla milimetrada.





























FUNDAMENTO TEÓRICO

Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo, como se ilustra en la figura 1.1. La figura 1.1.A muestra la orientación de equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad auna distancia vertical b del eje de rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de rotación es igual a cero.

Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, como lo ilustra la figura 11.B, “aparece” un torque ejercido por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por punto de suspensión, que tiende a hacer girar el péndulo endirección contraria a su desplazamiento angular que y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente:

Donde I representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un eje que pasa por el punto de suspensión O, y b es ladistancia que separa al centro de gravedad de dicho punto de suspensión.





Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial no es lineal, por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico.

Más, sin embargo, si hacemos la aproximación para pequeñas oscilaciones,, la ecuación anterior se transforma en:

Que sícorresponde a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular:

Y con período,

Como el experimento se realiza con una regla de metal, b sería la longitud l que viene a ser la distancia del centro de gravedad (CG) al eje de giro.
Si aplicamos el Teorema de Steiner (“teorema de ejes paralelos”):


























CÁLCULOS Y RESULTADOS

1. Llene latabla con las siguientes características

# de hueco
l (cm)
t1 (s)
t2 (s)
t3(s)
# de osc.
Periodo (prom.)
1
0.061
33.450
33.380
33.430
20
1.671
2
0.110
32.840
32.900
32.810
20
1.643
3
0.160
32.430
32.370
32.480
20
1.621
4
0.209
31.810
31.750
31.790
20
1.589
5
0.260
31.740
31.770
31.720
20
1.587
6
0.310
32.020
32.120
32.060
20
1.603
7
0.36233.200
33.220
33.150
20
1.660
8
0.411
17.450
17.610
17.690
10
1.758
9
0.459
20.310
20.380
20.260
10
2.032
10
0.511
26.720
26.660
26.840
10
2.674


2. a) Grafique T vs l, T en la vertical y l en el eje horizontal.




b) A partir de la ecuación (1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el periodo es mínimo.
De la ecuación:
…(1)
Il = IG + Ml2…(2)
Resolviendo con las dos ecuaciones:
IG + Ml2 = (T2*M*g*l)/(2)2
Siendo IG, M, g, y (2)2 constantes el periodo solo depende de l, entonces tenemos una función T=T(l) y para obtener el valor de periodo mínimo derivamos respecto a l e igualamos a cero.
De lo cual obtenemos:
l2= IG/M
Teniendo IG = 0.1883, M = 1.850 l = 0.319m

c) Compare el valor de l obtenido en b) con elque obtiene de la grafica en (a).
Aproximando la gráfica obtenemos:
T = 11.43l2 - 8.0572l + 2.916…(3)
Derivando (3) para obtener el mínimo e igualando a cero, tenemos:
22.86l – 8.0572= 0
Obteniendo: l = 0.352m

d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia?
Hallaremos el periodo con l = 0.352m con la ecuación (1)
Il = 0.1883 M = 0.185 T = 1.603s

e) De su gráfico,...