Ley de tricotomia

Ley de tricotomía

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisase puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.[1]

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .
Interpretación
Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están losnúmeros negativos, al medio el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación , es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.
Por ejemplo
Si y , entonces
La interpretación geométrica de esta propiedad llamadaTransitividad, dice que si es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de .
Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

Valorabsoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puedegeneralizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.
* 1 Valor absoluto de un número real * 1.1 Propiedades fundamentales * 1.2 Otras propiedades * 2 Valor absoluto de un número complejo * 2.1 Propiedades * 3 Programación del valor absoluto * 4 Notas* 5 Referencias * 6 Enlaces externos |
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2] ejemplos basicos:

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nuncanegativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.donde a la distancia a lo largo de la recta numérica real
Propiedades fundamentales
| No negatividad |
| Definición positiva |
| Propiedadmultiplicativa |
| Propiedad aditiva |
Otras propiedades
| Simetría |
| Identidad de indiscernibles |
| Desigualdad triangular |
| (equivalente a la propiedad aditiva) |
| Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa) |
Otras dos útiles inecuaciones son:
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Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:| |
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Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una...