Leyes axiomas de las probabilidades

LEYES Y AXIOMAS DE LAS PROBABILIDADES

Una ley de probabilidad , o distribución de probabilidad, es una función  que a un evento  asocia un número , su probabilidad. Este número traduce la oportunidad que tiene el evento de producirse. La forma más intuitiva de definir una tal función es repetir el experimento aleatorio y asociar a cada evento sufrecuencia experimental. . Si  es el número deexperimentos,  el número de veces que se produce el evento , la frecuencia experimental de  es la razón . Aquí tenemos, como ejemplo,  repeticiones de un experimento cuyas eventualidades son 0,  y .

En este ejemplo la frecuencia experimental de  es , la de  es . El inconveniente es que la frecuencia experimental cambiará si rehacemos los  experimentos. En otras palabras el conjunto delas repeticiones constituye un nuevo experimento aleatorio. Sin embargo todos tenemos en nuestra mente una idea de la Ley de los Grandes Números según la cual las frecuencias experimentales varían poco cuando el número de repeticiones es grande. Veamos cuatro cálculos sucesivos de la frecuencia experimental de , en  repeticiones del mismo experimento anterior.

Las propiedades que esperamos de una ley deprobabilidad son las mismas que las de las frecuencias experimentales. Las consideraremos como los axiomas de la definición.
A1
Para todo evento , .
A2
La probabilidad del evento cierto es : .
A3
Si  es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos ( y  no pueden suceder a la vez si ), entonces:

Una consecuencia inmediata de los axiomas A2 y A3 es la relación entre la probabilidad de unevento  y la de su opuesto, denotado .

Una ley de probabilidad es creciente por inclusión, según A1 y A3: si , entonces .
Las leyes de probabilidad que se emplean en la práctica son de dos tipos particulares, las leyes discretas y las leyes continuas. 
1. Leyes discretas 
El conjunto de las eventualidades  es finito o numerable:

Todas las partes de  son eventos. Como todo evento es una reuniónfinita o numerable de eventos individuales o aislados (singleton), es suficiente definir la probabilidad de cada singleton:

Para todo , la probabilidad de  será entonces determinada por A3:

Ejemplo: Si el conjunto de los resultados es finito  y si no hay información que nos permita diferenciar unos resultados de otros, es natural asociar a cada eventualidad la probabilidad . La probabilidadde todo evento  es entonces Card.
Esta probabilidad particular se llama la equiprobabilidad. En este caso todos los cálculos se convierten en contar:
   Probabilidad

2. Leyes continuas 
El conjunto de las eventualidades  es . Los eventos son los intervalos, y todos los subconjuntos de  que se pueden formar combinando intersecciones y uniones de intervalos. En la teoría de la medida se lesllama conjuntos borelianos. 
Definición 1.1   Llamamos densidad de probabilidad a una función de  en , continua por pedazos y de integral igual a .
   y
Dada una densidad de probabilidad, se define una ley de probabilidad sobre , asociando a todo evento  el valor de la integral de la densidad sobre este evento:

Ejemplo: Para el experimento aleatorio que consiste en sacar al azar un númeroreal en el intervalo (llamar a Random ), consideraremos sobre  la ley de probabilidad continua de densidad:

Ella asigna a todo intervalo contenido en  una probabilidad igual a su longitud.

Como sucede en el ejemplo anterior, es frecuente que una densidad sea estrictamente positiva sobre un intervalo (eventualmente no acotado) de , y nula fuera. El intervalo en el cual  es estrictamente positivase llama el soporte de la ley.
Podemos ver una probabilidad como una distribución de masa en el conjunto de las eventualidades. La masa total vale . En el caso discreto, ella se encuentra repartida en cada eventualidad como en ``granos de plomo'' separados. En el caso continuo, ella está repartida sobre todo un intervalo de , que es como un hilo de masa en el cual la densidad de la masa es...