Leyes De Composicion

LEYES DE COMPOSICION INTERNA

Una ley de composición interna, definida en un conjunto no vacio A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A. Esto significa que a cada objeto de A X A le corresponde un único elemento de A.
Definición
Ley de composición interna definida en un conjunto no vacio A, es toda función de A X A enA.
En Símbolos
*es una ley interna en *: A2→A

Es decir a a∈A ⋀b ∈A⟺a*b∈A
La unidad de a*b está dada por la definición de función imagen. La imagen de a*b del par (a,b) es el compuesto de a con b.
Son ejemplos de leyes de composición interna, la adición y multiplicación en N, Z, Q, R y C.

Ejemplo
Las siguientes tablas de doble entrada definen leyes decomposición interna en el conjunto A = {a, b, c }
| a | b | c |
a | a | b | c |
b | b | c | a |
c | c | a | b |
| a | b | c |
a | a | b | b |
b | c | a | c |
c | b | c | a |
i) ii)


En i) es b*c = a pero en ii) se tiene b*c = c. ¿Cuántas leyes de composición interna es posible definir en el conjunto A? Esobvio que tantas como funciones existan de A2 en A, como A2 tiene 9 elementos se trata de todas las variaciones con repetición de 3 elementos de orden 9 es decir 39.

Ejemplo
Dado A = {1, 2, 3 } se considera el conjunto T(A) cuyos elementos son todas las funciones biyectivas de A en A, es decir

T(A) = { fi :A→A∕fi es biyectiva }

Nos interesadefinir en T(A) la composición de aplicaciones que es obviamente una ley de composición interna puesto que la aplicación de las composiciones biyectivas de A en A conduce a aplicaciones biyectivas de A en A.
El conjunto T(A) tiene 6 elementos, que caracterizamos a través de los correspondientes conjuntos imágenes de las aplicaciones

f1= { (1,1), (2,2), (3,3) } = iA
f2= { (1,1), (2,3),(3,2) }
f3 = { (1,2), (2,1), (3,3) }
f4= { (1,2), (2,3), (3,1) }
f5 = { (1,3), (2,1), (3,2) }
f6 = { (1,3), (2,2), (3,1) }

Para componer f2 con f3 determinamos f3 ∘ f2 mediante:

( f3 ∘ f2 ) (1) = f3 [f2 (1)] = f3(1) = 2
( f3 ∘ f2 ) (2) = f3 [f2 (2)] = f3(3) = 3
( f3 ∘ f2 ) (3) = 1

Resulta así f3 ∘ f2 = f4.

PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE LASLEYES DE COMPOSICION INTERNA.

Sea * una ley de composición interna en A es decir *A2→A
* Asociativa
*: A2→A es asociativa ⇔ ( a*b) * c = a *(b*c) cualesquiera que sean a,b y c en A

* Conmutativa
*: A2→A es Conmutativa ⇔ a*b = b*a para todo par de elementos a y b de A

PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINTOS
5.3.3 existencia de elemento neutro
Cabe preguntarse siexiste en el conjunto A un elemento e, que compuesto a izquierda y a derecha con cualquiera otro no lo altere. Si un elemento tal existe se lo llama neutro o identidad respecto de la ley * de acuerdo con la siguiente definición
e ϵ A es neutro respecto de * ⇔ ∀ a∈A :a*e=e*a=a
5.3.4. Existencia de inversos en una ley con neutro
Sea * una ley interna en A, con elemento neutro e. Dado a ϵ Ainteresa investigar si existe a ϵ A, tal que compuesto izquierda y a derecha con a de por resultado pertenece ϵ, el neutro es un conjunto relativo a todos, el inverso, si existe, es relativo a cada elemento. Proponemos la siguiente de definición
a1 ϵ A es inverso de a∈A respecto de * ⇔a*a1=a1*a=e

Los elementos de A que admiten inversos respecto de * se llaman inversibles.

Ejemplo 5.4)i) La adicion es una ley interna es N, conmutativa y asociativa.
ii) La adicion es ley interna es Z, asociativa, conmutativa, con neutro 0, y con inverso aditivo para cada entero.
iii) En R la multiplicación es ley interna,asociativa, conmutativa, con neutro 1, con inverso multiplicativo para cada elemento no nulo.
iv) En el conjunto T(A) del ejemplo 5-3, la composición de...