Leyes De Composición Internas Y Externas

Definición y ejemplos de una ley de composición interna

Sea E un conjunto no vacio (E≠ ∅). Se denomina ley de composición interna u operación totalmente definida sobre E a toda función f:ExE→E. En otras palabras, una ley de composición interna definida sobre un conjunto E es toda función f que tiene como dominio el producto cartesiano ExE y como rango el conjunto E.
Denotación: Para denotarque un conjunto E≠ ∅ esta dotado de una ley de composición interna T, escribiremos: E,T.

Notas:
1) La imagen fx,y, con x,y∈ExE, se llama “compuesto de x con y” y se denota por xTy, x⊥y, x+y, x-y, x∆y, etc., según sea la notación convenida para la ley correspondiente
2) Por abuso del lenguaje, en lugar de decir “consideremos laley interna(x,y)→xTy ”, definida sobre E, diremos “consideremos la ley T sobre E” o también “la ley xTy sobre E

Ejemplos
1) Las operaciones usuales de adición y multiplicación son leyes de composición interna totalmente definidas sobre los conjuntos numéricos: N, Z, Q, R y C, debido a que podemos verificar fácilmente que las relaciones siguientes:

i:NxN→N/x,y=x+y, ∀x,y∈NxNg:ZxZ→Z/x,y=x+y, ∀x,y∈ZxZ
h:QxQ→Q/x,y=x+y, ∀x,y∈QxQ
t:RxR→R/x,y=x+y, ∀x,y∈RxR
l:CxC→C/x,y=x+y, ∀x,y∈CxC

Propiedades eventuales de una ley de composición interna.
Asociativa
SeaE,T. Se dice que la ley T es asociativa si y solo si
∀x,y,z ∈E:xTyTz=xTyTZ.
Conmutativa
SeaE,T. Se dice que la ley T es conmutativa si y solo si
∀x,y ∈E:xTy=yTx.
Elementos regulares
SeaE,T. y a∈E. Sedenomina traslación por la izquierda asociada al elemento "a" a la función αa:E→E / αa(x) =aTx, ∀x∈E.
En forma análoga, se denomina traslación por la derecha asociada al elemento “a” a la función βa:E→E / βa(x) =aTx, ∀x∈E.
Sea E,T, a∈E. Se dice que “a” es regular por la izquierda si y solo si la traslación por la izquierda asociada al elemento “a” es inyectiva, es decir: αa(x1) = αa(x2) →x1 = x2.
En otras palabra, aTx1=aTx2 → x1 = x2.

En forma análoga, se dice que “a” es regular por la derecha si y solo si la traslación por la derecha asociada al elemento “a” es inyectiva, esto es: βa(x1) = βa(x2) → x1 = x2.
En otras palabra, x1Ta=x2Ta → x1 = x2.

Sea E,T, a∈E. Se dice que “a” es regular si y solo si es regular a la izquierda y a la derecha simultáneamente.Elemento neutro

Sea E,T, e∈E. Se dice que “e” es neutro a la izquierda para E,Tsi y solo si ∀x∈E:eTx=x. En forma análoga, se dice que “e” es neutro a la derecha para E,T si y solo si ∀x∈E:xTe=x.

Sea E,T, e∈E. Se dice que “e” es neutro para E,Tsi y solo si “e” es neutro simultáneamente a la izquierda y a la derecha para E,T.

Elemento simétrico

Sea E,T y e∈E el elementoneutro para(E,T). Se dice que a∈E: es simetrizable a la izquierda para (E,T) si y solo si existe a'∋E tal que: a'Ta=e. En forma análoga, se dice que “a” es simetrizable a la derecha para (E,T) si y solo si existe a'∋E tal que: aTa'=e.

Sea E,T y e∈E el elemento neutro para(E,T). Se dice que a∈E es simetrizable para la ley T si y solo si “a” es simetrizable simultáneamente a la izquierda y ala derecha para E,T. Esto es, para a∈E existe a'∈E tal que aTa'=a'Ta=e, en estas condiciones, a’ se denomina simétrico de a y viceversa.

Propiedad distributiva

Sean E,T y E,⊥. Se dice que la ley T es distributiva a la con respecto a la ley ⊥ si y solo si ∀x,y,z∈E:xTy⊥z=(xTy⊥xTz). En forma análoga, se dice que la ley T es distributiva a la derecha con respecto a la ley ⊥ si y solo si∀x,y,z∈E: x⊥yTz=(xTz⊥yTz)

Sean E,T y E,⊥. Se dice que la ley T es distributiva con respecto a la ley ⊥ si y solo si es distributiva simultáneamente a la derecha y a la izquierda con respecto a ⊥.

Definición y ejemplos de una ley de composición externa

Sean E y W conjuntos no-vacios. Se denomina ley de composición externa...