Leyes de kepler,agujeros negros y rapidez de escape

1.Leyes de Kepler y el movimiento de los cuerpos
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyócomo matemático imperial de Rodolfo II.

El astronomo aleman Johannes Kepler fue auxiliar de Brahe durante una época breve
Antes de la muerte de este, despues de lo cual adquirio los datos astronomicos de su
Mentor y paso 16 anos intentando deducir un modelo matemático para el movimiento
de los planetas. Tal información es difícil de ordenar porque los planetas en movimiento se observan desdeuna Tierra en movimiento. Después de muchos cálculos laboriosos, Kepler encontró que los datos de Brahe acerca de la revolución de Marte alrededor del Sol
conducían a un modelo exitoso. El análisis completo de Kepler del movimiento planetario se resume en tres enunciados que se conocen como leyes de Kepler:

1. Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco.

2. Elradio vector dibujado desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en intervalos
de tiempo iguales.

3. El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo del
Semieje mayor de la órbita elíptica.

Primera ley
La primera ley de Kepler indica que la órbita circular es un caso muy especial y que las órbitas elípticas son la situación general. Esta noción fue difícil deaceptar para los científicos de la época, porque creían que las órbitas circulares perfectas de los planetas reflejaban la perfección del cielo.

Segunda ley
Se puede demostrar que la segunda ley de Kepler es una consecuencia de la conservación
de la cantidad de movimiento angular. Considere un planeta de masa Mp que se mueve entorno al Sol en una órbita elíptica. Considere al planeta como unsistema.
El Sol se modela como mucho más pesado que el planeta, de tal modo que el Sol no se
mueve. La fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre el planeta es una fuerza central,
siempre a lo largo del radio vector, dirigido hacia el Sol. El momento de
torsión sobre el planeta debido a esta fuerza central claramente es cero porque F Sg es paralela a rS.
Recuerde que el momento de torsiónexterno neto sobre un sistema es igual a la relación
de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento angular del sistema; esto es,
􀁨􀀀tS􀀀􀀕 d L S /dt (ecuación 11.13). Por lo tanto, ya que el momento de torsión externo sobre elplaneta es cero, se modela como un sistema aislado para cantidad de movimiento angular y la cantidad de movimiento angular L S del planeta es una constante delmovimiento:


Este resultado se puede relacionar con la siguiente consideración geométrica.






Tercera ley
La tercera ley de Kepler se puede predecir a partir de la ley de cuadrado inverso para órbitas circulares. Considere un planeta de masa Mp que se supone en movimiento alrededor del Sol (masa MS) en una órbita circula. Ya que la fuerza gravitacional proporciona la aceleración centrípetadel planeta conforme se mueve en un círculo, se usa la segunda ley de Newton para una partícula en movimiento circular uniforme



La rapidez orbital del planeta es 2pi.r/T, donde T es el periodo; en consecuencia, la expresión precedente se convierte en


donde KS es una constante conocida por






Rapidez de escape
La velocidad de escape es la velocidad mínima inicial quenecesita un objeto para escapar de la gravitación de un cuerpo astronómico y continuar desplazándose sin tener que hacer otro esfuerzo propulsor. La velocidad de escape generalmente se da en términos de velocidad de lanzamiento sin tener en cuenta el rozamiento aerodinámico.

Suponga que un objeto de masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una rapidez...