leyes de kepler

a. ¿Cómo se construye un sistema de coordenadas para el movimiento planetario? Se sugiere consultar: Coordenadas y condiciones iniciales.

Coordenadas y condiciones iniciales

Colocando en el origen en el centro de masa del sol se hace que el plano de movimiento del planeta sea el plano con coordenadas polares. Esto hace que r sea el vector posición ( en coordenadas polares) del planeta,que │r│sea igual a r y r│r│igual a ur. Tambien se coloca el eje z de modo que k sea la dirección de C. asi, k tiene la misma relación derecha con r x r’ que C, y el movimiento del planeta es en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, cuando se ve desde el semieje positivo z. esto hace que θ crezca con t, de modo que θ’ ˃ 0 para toda t. por último, si es necesario se gira el plano concoordenadas polares alrededor del eje z, para que el rayo inicial coincida con la dirección de r cuando el planeta esta más cerca del sol. Esto hace que el rayo pase por la posición del perihelio del planeta.


El sistema de coordenadas para el movimiento planetario.
El movimiento es contrario al de las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba, como se muestra y θ’ ˃ 0.
b. ¿Cuáles sonlas leyes de Kepler? Explicar cada una de ellas y realizar la deducción matemática.
Ley de la gravitación universal
Establece que dos masas (m1 y m2) se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y va en la dirección de la línea que une las dos masas:


1º ley de kepler La órbita decada planeta es una elipse y el sol se encuentra en uno de sus focos

Esta es una de las leyes de Kepler. La forma elíptica de la órbita, es el resultado de la fuerza del inverso del cuadrado de la gravedad. Aquí está bastante exagerada la excentricidad de la elipse.
La excentricidad de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas de

la distancia entre focos respecto aleje mayor de la elipse. La excentricidad es cero para un círculo. En las órbitas planetarias, solo Plutón tiene una excentricidad grande.

r1 es la distancia más cercana al foco (cuando =0) y r2 es la distancia más alejada del foco (cuando =).
Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:
Semieje mayor a=(r2+r1)/2
Semieje menor b
Semidistanciafocal c=(r2-r1)/2
La relación entre los semiejes es a2=b2+c2
La excentricidad se define como el cociente =c/a=(r2-r1)/(r2+r1)
 Demostración matemática
De acuerdo con la ley de gravitación universal, la fuerza entre el Sol y un planeta viene dada por
(1)
Donde M es la masa del Sol y m la masa del planeta; el planeta se mueve con una aceleración dada por
(2)
Que también podemos escribir como
(3)Si se define el momento angular instantáneo de una partícula, relativo al origen 0 (cero), por medio del producto vectorial entre el vector de posición instantáneo y la cantidad de movimiento instantánea que lleva la partícula y considerando el Sol y los planetas como partículas (esto es válido y se puede demostrar matemáticamente que se comportan como tales), tenemos:
(4)
Donde r es el vectorde posición que va desde el Sol hasta el planeta y p la cantidad de movimiento o momento lineal que se define como el producto de la masa, por la velocidad que lleva el planeta.


Veamos primero que los planetas se mueven en un plano alrededor del Sol; para hacerlo, derivamos el momento angular.

pero como la velocidad es , luego , y como también la aceleración es radial y está dada por , setiene que , lo que implica que la derivada del momento angular es cero y por lo tanto ésta es una constante del movimiento e indica que el movimiento de los planetas es central y en un plano.

El movimiento de los planetas es en un plano formado por el vector de posición y el vector velocidad

Ahora: si multiplicamos vectorialmente a izquierda por la aceleración, tenemos (7)
Reemplazando...