Leyes De Los Conjuntos

LEYES DE LOS CONJUNTOS |
LEYES IDEMPOTENTES | Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ A = A2. A ∩ A = A |
LEYES CONMUTATIVAS | Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ B = B ∪ A2. A ∩ B = B ∩ A |
LEYES ASOCIATIVAS | Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪C2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C |
LEYES DISTRIBUTIVAS | Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
LEYES DE IDENTIDAD | Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ ∅ = A2. A ∪ U = U3. A ∩ ∅ = ∅4. A ∩ U = A |
LEY INVOLUTIVA | Dado un conjuntocualquiera A de un universal U, se verifica: | (A c) c = A |
LEYES DEL COMPLEMENTO | Dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U, se verifica: | 1. A ∪ A c = U2. U c = ∅3. A ∩ A c = ∅4. ∅ c = U |
LEYES DE DE MORGAN | Dados dos conjuntos A y B en un universal U, se verifica: | 1. (A ∪ B) c = A c ∩ B c2. (A ∩ B) c = A c ∪ B c |
OTRAS RELACIONES ENTRE CONJUNTOS | | A – A = ∅A − ( B ∪C ) = ( A − B) ∩ ( A − C)A − ( B ∩ C ) = ( A − B) ∪ ( A − C)A ⊆ A( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) → A ⊆ C( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A ) → A = A( A ⊆ B ) ↔ A ∪ B = B ↔ A ∩ B = A( A ⊆ B ) ↔ A − B = ∅ |

Conjuntos.
Bajo las operaciones definidas en los apartados anteriores, los conjuntos satisfacen varias leyes o identidades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes que utilizan la intersección y las queutilizan la unión.

3.1.3 Leyes del Álgebra de Conjuntos.

Si 1 designa al conjunto universal y 0 al conjunto vacío, las siguientes identidades son válidas en el álgebra de conjuntos para conjuntos arbitrarios X, Y, Z.

Leyes conmutativas
XY = YX X  Y = Y  X.

Leyes asociativas
X(YZ) = (XY)Z X  (Y  Z) = (X  Y)  Z.

Leyes distributivas
X(Y  Z) = XY  XZ X  YZ = (X  Y) (X Z).

Leyes de idempotencia
XX = X X  X = X.

Leyes de complementación
XX' = 0 X  X' = 1.

Leyes de absorción
X (X  Y) = X X  XY = X.

Leyes de D'Morgan
( XY)' = (X'  Y') (X  Y )' = X'Y'.

Leyes con 0 y 1
X 1 = X X  0 = X.
X 0 = 0 X  1 = 1.
0' = 1 1' = 0.

Ley de complemento doble
(X')' = X.

Es importante destacar la dualidad dada en estas leyes, es decir, sien cualquiera de las identidades, cada unión se reemplaza por una intersección, cada intersección por una unión, cada 0 por 1 y cada 1 por 0, la expresión resultante es también una identidad.

3.1 Conjuntos.
Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y loselementos con letras minúsculas.
Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:
x  A.
que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
x  A.
Un conjunto sepuede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A = { 2, 3, 5}

Esto se conoce como expresión por extensión del conjunto.
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto delos números podemos seleccionar el conjunto B de los números pares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

B = { x / x es par}
lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.

3.1.1 Definiciones.
3.1.1.1 Igualdad de Conjuntos. El conjunto...