Leyes de los exponentes

Leyes de los exponentes

 A la operación matemática que representa, en forma abreviada, la multiplicación de factores iguales se le llama potenciación.
La potenciación, como expresión algebraica,la conforman los siguientes elementos:
a = base
m = exponente
b = potencia
Así se tiene que:

Con base en esta definición es posible entender las leyes de los exponentes.
Primera ley: Productode potencias con la misma base.
Ejemplo:
a� � a�
Por la definición de potencia se tiene:

Donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
a� � a� = a�+�
= 
Al generalizar se afirma que:El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base
Ejemplo: 
Por ladefinición de potencia se tiene:

Al cancelar factores iguales queda:

Al generalizar queda:
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.Obsérvese ahora el siguiente ejemplo:

y se sabe que:

Por transitividad:

De lo que se concluye que:
Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo

Tercera ley:Potencia de una potencia
Ejemplo: 
Por la definición de potencia se tiene:

Apoyándose en la ley 1;

Generalizando se tiene que:
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) esigual que la base elevada al producto de los exponentes.

Cuarta ley: Potencia de un producto
Ejemplo: (ab)�
Al aplicar la definición de potencia:
(ab)� = ab � ab � ab
Aplicando la leyconmutativa:
(ab)� = a � a � a � b � b � b
Y como la potencia es una multiplicación abreviada, queda:
a�b�
Generalizando, se tiene que:
La potencia de un producto es igual que el producto de la mismapotencia de los factores

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia
Ejemplo: 
Aplicando la definición de potencia:

Abreviando la multiplicación de fracciones:

Al generalizar se...