Leyes de los logaritmos

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CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas

83. Dificultad de una tarea La dificultad en “lograr un objetivo” (como usar el ratón para dar clic en un icono en la pantalla de la computadora) depende de la distancia al ob-jetivo
y el tamaño de éste. De acuerdo con la ley de Fitts, el índice
de dificultad (ID), está dado por
ID ϭ

log12A/W 2
log 2

donde W es el ancho delobjetivo y A es la distancia al centro del objetivo. Compare la dificultad de dar clic en un
icono cuyo ancho es de 5 mm con la de dar clic en uno
de 10 mm de ancho. En cada caso, suponga que el ratón
está a 100 mm del icono.

Descubrimiento • Debate
84. Altura de la gráfica de una función logarítmica Suponga que la gráfica de y ϭ 2 x se traza en un plano coordenado
donde la unidad de mediciónes una pulgada.
a) Muestre que a una distancia 2 pies a la derecha del
origen la altura de la gráfica es aproximadamente
265 millas.
b) Si la gráfica de y ϭ log 2 x se traza en el mismo conjunto
de ejes, ¿qué tan lejos a la derecha del origen se tiene
que ir antes de que la altura de la curva alcance 2 pies?
85. Googolplex Un googol es 10 100, y un googolplex es
10 googol. Encuentrelog1log1googol 22

y

log1log1log1googolplex 222

86. Comparación de logaritmos ¿Qué es más grande,
log 4 17 o log5 24? Explique su razonamiento.
87. Número de dígitos en un entero Compare log 1000
con el número de dígitos en 1000. Haga lo mismo para
10 000. ¿Cuántos dígitos tiene cualquier número entre 1000
y 10 000? ¿Entre cuáles dos valores debe quedar el logaritmo común de tal número?Use sus observaciones para
explicar por qué el número de dígitos en cualquier entero
positivo x es “log x‘ ϩ 1. (El símbolo “n‘ es la máxima
función de enteros definida en la sección 2.2.) ¿Cuántos
dígitos tiene el número 2100?

4.3

Leyes de los logaritmos
En esta sección se estudian las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades
dan a las funciones logarítmicas una amplia variedadde aplicaciones, como se verá
en la sección 4.5.

Leyes de los logaritmos
Puesto que los logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a
las leyes de los logaritmos.

Leyes de los logaritmos
Sea a un número positivo, con a
lesquiera con A Ͼ 0 y B Ͼ 0.

1. Sea A, B y C números reales cua-

Ley

Descripción

1. loga 1AB 2 ϭ loga A ϩ loga B
2. loga a

A
b ϭloga A Ϫ loga B
B

3. loga 1AC 2 ϭ C loga A

El logaritmo de un producto de números es
la suma de los logaritmos de los números.
El logaritmo de un cociente de números es
la diferencia de los logaritmos de los
números.
El logaritmo de una potencia de un número
es el exponente multiplicado por el
logaritmo del número.

SECCIÓN 4.3 Leyes de los logaritmos

■

353

Se hace uso dela propiedad loga a x ϭ x de la sección 4.2.

Demostración

y loga B ϭ √. Cuando se escriben en forma exponencial,
Ley 1. Sea loga A ϭ u and
estas ecuaciones se convierten en
au ϭ A

y
and

a√ ϭ B

loga 1AB 2 ϭ loga 1aua√ 2 ϭ loga 1auϩ√ 2

Así

ϭ u ϩ √ ϭ loga A ϩ loga B
Ley 2. Usando la ley 1, se tiene
loga A ϭ loga c a
loga a

por lo tanto,

A
A
b B d ϭ loga a b ϩ loga BB
B

A
b ϭ loga A Ϫ loga B
B

Ley 3. Sea loga A ϭ u. Entonces au ϭ A, por lo tanto

loga 1AC 2 ϭ loga 1au 2 C ϭ loga 1auC 2 ϭ uC ϭ C loga A

Ejemplo 1

■

Uso de las leyes de los logaritmos
para evaluar expresiones

Evalúe cada expresión.
a) log 4 2 ϩ log 4 32

c) Ϫ 31 log 8

b) log 2 80 Ϫ log 2 5

Solución

a) log 4 2 ϩ log 4 32 ϭ log 4 12 # 32 2

ϭ log 4 64 ϭ 3log 2 A 805 B

b) log 2 80 Ϫ log 2 5 ϭ
ϭ log 2 16 ϭ 4
1
c) Ϫ 3 log 8 ϭ log 8Ϫ1/3
ϭ logA 21 B
Ϸ Ϫ0.301

Ley 1
Porque 64 ϭ 43
Ley 2
Porque 16 ϭ 24
Ley 3
Propiedad de exponentes negativos
Resultado de la calculadora

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Expansión y combinación de expresiones logarítmicas
Las leyes de los logaritmos permiten escribir el logaritmo de un producto o un cociente como la suma o...