Leyes de newton

Tema 4 Resoluci´n de ecuaciones. El m´todo o e de Newton
4.1 Introducci´n o

La resoluci´n de ecuaciones es un importante problema de Matem´ticas del que nos ocuo a pamos en este tema. El estudiante conoce ya algunos resultados sobre esta cuesti´n. Por o ejemplo, ha estudiado las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado que sabe resolver porque hay f´rmulas que dan las soluciones de laecuaci´n (eventualmente, una o o sola); sabe que hay ecuaciones que pueden no tener ninguna soluci´n real. Ha aprendido o tambi´n a obtener las soluciones enteras de una ecuaci´n algebraica de cualquier grado e o mediante la regla de Ruffini. En los programas de Ense˜anza Media adem´s se estun a dian algunas ecuaciones no algebraicas, por ejemplo, algunas ecuaciones exponenciales, logar´ ıtmicas otrigonom´tricas. e Las soluciones de una ecuaci´n tienen algunos nombres que conviene conocer o ız Definici´n 4.1 Sea f : S ⊂ R −→ R. Se dice que α es un cero o una ra´ de f (x) si o f (α) = 0. Es importante tener en consideraci´n que, desde el punto de vista geom´trico, resolver o e la ecuaci´n f (x) = 0 es hallar las abscisas de los puntos de corte de la gr´fica de la funci´n o a o y = f (x) conel eje y = 0. Como la determinaci´n de la soluci´n exacta no es posible en o o general, se intentan hallar aproximaciones de la ra´ y determinar una cota del error que ız se ha cometido. 1

2 El problema de resolver una ecuaci´n se divide en los dos problemas siguientes: o 1. Separar las ra´ces, es decir, encontrar intervalos en los que haya un solo cero de la ı funci´n. Ello supone encontrarintervalos en los que haya al menos una soluci´n o o (mediante el Teorema de Bolzano) y asegurar que en dichos intervalos hay como m´ximo una soluci´n (asegurando que la funci´n es estrictamente mon´tona en a o o o ellos). 2. Aproximar las ra´ces. Hay multitud de procedimientos para ello; nosotros estudiareı mos uno de los m´s utiles y eficientes, el m´todo de Newton. En cualquier m´todo a ´ e e deaproximaci´n es indispensable conocer cotas del error que se comete. o

4.2

El m´todo de Newton e

Supongamos que pretendemos resolver la ecuaci´n f (x) = 0 y que hemos separado las o ra´ ıces, de modo que en el intervalo [a, b] hay un solo cero de la ecuaci´n, que denotamos o por α. Asumimos que la funci´n y = f (x) admite derivadas hasta de segundo orden o en [a, b] y que la derivadaprimera no se anula en dicho intervalo porque la funci´n es o estrictamente mon´tona. o El m´todo de Newton consiste en: e • Se escoge (luego indicaremos el criterio para escoger) x0 = a, • Se calculan xn+1 = xn − f (xn ) , f (xn ) n≥0 o x0 = b

Se genera as´ una sucesi´n {xn } que converge en muchas ocasiones a α. La interı o pretaci´n geom´trica del m´todo es que, conocido xn , se tiene que xn+1 esla abscisa del o e e punto de corte de la tangente a y = f (x) en (xn , f (xn )) con el eje y = 0. En lo concerniente a la elecci´n del punto inicial tenemos la siguiente regla que nos o dice c´mo hacerlo para que el m´todo converja, es decir para que xn → α. o e Teorema 4.2 (Regla de Fourier) Sea f : [a, b] −→ R continua y dos veces continuamente diferenciable en [a, b] y tal que verifica

31. f (a)f (b) < 0 2. f (x) = 0, 3. f (x) = 0, ∀x ∈ [a, b] ∀x ∈ [a, b]

Entonces, el m´todo de Newton converge si tomamos x0 = a o x0 = b de tal forma que e f (x0 )f (x0 ) > 0. El m´todo de Newton es muy eficiente en el sentido que, cuando converge, en cada e iteraci´n se dobla el n´mero de cifras exactas que tiene la aproximaci´n. La cota de error o u o viene dado por el siguiente resultado oTeorema 4.3 Supongamos las hip´tesis de la regla de Fourier y que se escoge el punto inicial seg´n ese criterio. Entonces, una cota del error cometido en la n-sima iteraci´n,|En | = u o |xn − α|, viene dada por |En | ≤
x∈[a,b] x∈[a,b]

M2 (xn − xn−1 )2 2m1

siendo M2 = max |f (x)| y m1 = min |f (x)|. Ejemplo 4.4 Consideremos la ecuaci´n x5 + 5x + 1 = 0. Es claro que esta ecuaci´n o o tiene al...