Leyes de Potencias 9 grado

Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo:

Denición: Para
a,

denotado

an ,

todo número real  a y para todo entero

es denido por recurrencia sobre

n,

n ∈ N,

la potencia

n

9−
-ésima de

por:

a1 = a
an+1 = an · a
El símbolo
a a la

n".

an

se lee a elevado a la potencia n; a potencia

n,

o más popularmente se lee como

Al númeroreal  a se le llama base de la potencia y al entero  n el exponente. De

acuerdo con la denición dada por recurrencia, se tiene que para todo
producto de

n

factores iguales a

n ≥ 2, an

es igual al

a:
an = a · a · a · · · a
n f actores

Notas:
1. El uso conduce a designar respectivamente a las potencias 2 y 3 de un número

a

2

cuadrado de

el cubo de

cuadradode lado
2. Para todo

n∈N

a

y

a3

a".

Estos nombres se dan porque

el volumen de un cubo de arista

se tiene que

a2

a

por el

representa el área de un

a.

0n = 0
1n = 1

3. De acuerdo con la regla de los signos relativa a la multiplicación, resulta que para todo

a ∈ R, a = 0
a)

Toda potencia en la cuál el exponente sea un entero par, es positiva.b)

Toda potencia en la cuál el exponente sea un entero impar, tendrá el mismo signo de
la base.

1

Las leyes de potencias de uso más frecuente son las siguientes:
1.

an = a · a · a · · · a

7.

n veces

2.

3.

está

a−1 =

10.

an · am = an+m
an
= an−m
am

6.

an
bn

(an )m = an·m

a1 = a

5.

=

9.

def inido

4.

n

8.

a0 = 1 si a = 0,00 : no

a
b

11.

12.

(a · b)n = an · bn

a−n
1
a−n
a
b

1
a
1
= n
a
= an
−n

=

b
a

n

Demostración de algunas de las leyes de potencias:
1. Pruebe que:

an · am = an+m

Demostración:

an · am = a · a · a · · · a · a · a · a · a · · · a · a = a · a · a · · · a · a = an+m
n veces

m veces

n+m veces

n

2. Pruebe que:

a
= an−m
amDemostración:
Haciendo uso de la denición 2. y de la propiedad anterior:
1
an
= an · m = an · a−m = an+−m = an−m
m
a
a
3. Pruebe que:

(an )m = anm

Demostración:

(an )m = an · an · an · · · an · an
m veces

= a · a · a···a · a·a · a · a···a · a···a · a · a···a · a
n veces

n veces

n veces

m veces

= a · a · a···a · a
nm veces

4. Pruebe que

(ab)n = an · bnDemostración:
Haciendo uso de la denición principal:

(ab)n = ab · ab · ab · · · ab · ab = a · a · a · · · a · a · b · b · b · · · b · b = an · bb
n veces

n veces

n veces

2

Ejemplos: Simplique las siguientes expresiones algebraicas:
1. Simplique al máximo:

6a3 b4 · −2a4 b6

e indique el nombre de las partes que componen el

producto.

Solución:

6a3 b4 · −2a4 b6 = (6 ·−2)a3+4 b4+6

Propiedad 4

Simplicamos

2. Simplique al máximo:

−12

a7 b10

coef. numérico

=

f actor literal

4a5 b7 c
· −5a3 b4 c
2a6 b3 c2

Solución:

4a5 b7 c · −5a3 b4 c
4a5 b7 c
· −5a3 b4 c =
2a6 b3 c2
2a6 b3 c2
−20a5+3 b7+4 c1+1
=
2a6 b3 c2
−20a8 b11 c2
=
2a6 b3 c2
= −10a8−6 b11−3 c2−2
= −10a2 b8 c0

Reexpresando el producto
Propiedad 4
SimplicandoPropiedad 5
Simplicando

= −10a2 b8

Propiedad 2

3

3. Simplique al máximo:

(−2x3 + 4x · x2 − 12x3 )−2
2x−3

Solución:

(−2x3 + 4x · x2 − 12x3 )−2
(−2x3 + 4x3 − 12x3 )−2
=
2x−3
2x−3
3 −2
(−10x )
=
2x−3
(−10)−2 (x3 )−2
=
2x−3
1
x−6
(−10)2
=
2x−3
1
100

x−6−(−3)
2
1 −3
=
x
200
1
=
200x3
=

4. Simplique al máximo:

Se realiza el producto

Sesuman los monomios
Propiedad 6

Propiedades 11 y 8
Propiedad 5
Simplicando
Propiedad 10

(−6a3 b4 c2 )3
(−3ab3 c4 )2

Solución:

(−6)3 (a3 )3 (b4 )3 (c2 )3
(−6a3 b4 c2 )3
=
(−3ab3 c4 )2
(−3)2 a2 (b3 )2 (c4 )2
−216a9 b12 c6
=
9a2 b6 c8
= −24a9−2 b12−6 c6−8

Propiedad 6

Propiedad 8
Propiedad 5

= −24a7 b6 c−2

Simplicando

−24a7 b6
c2

Propiedad 10

=

4...