LeyesKirchoffLinAlg

Proyecto de Algebra Lineal
Leyes de Kirchoff
Mauro Rivadeneira, Isaac Carpio y Nicolas Vi˜
nas L.
09 de Diciembre de 2015

1.

Introducci´
on

Gran parte de la clase de ´
algebra lineal consiste en utilizar eliminaci´on de Gauss para resolver
sistemas de ecuaciones. Esto obviamente es muy u
´til en varios aspectos de la ingenier´ıa, en especial
aquellos que manejan una gran cantidad de datos y deinc´ognitas. En la ingenier´ıa el´ectrica se puede
utilizar este concepto como una u
´til herramienta, para resolver los flujos de corrientes en un circuito.
Con la amplia expansi´
on de los aparatos electr´onicos y la importancia de no solo la electricidad, sino
tambi´en de las redes de comunicaci´
on que dependen de estos conceptos, aprender a utilizar el ´
algebra lineal y sus herramientaspara resolver sistemas de ecuaciones se han vuelto algo imperativo en
el mundo moderno. En las siguientes secciones a continuaci´on se dar´a una definici´on sobre la teor´ıa
detr´as de la resoluci´
on de sistemas con Gauss. Finalmente ligaremos todo al resolver el flujo de corrientes en un circuito utilizando leyes de Kirchhoff, las cuales dependen fuertemente del ´algebra lineal.

2.

Gauss

Gausses un algoritmo, pero entonces, ¿Qu´e es un algoritmo? Un algoritmo es un proceso o f´ormula
matem´atica que permite resolver un problema matem´atico. Aplicamos esto a una matem´atica matricial para crear el m´etodo de eliminaci´
on de Gauss. El m´etodo de eliminaci´on de Gauss consiste en
agrupar varios sistemas de ecuaciones lineares en una matriz, cuyas dimensiones est´an dadas por el
n´
umerode ecuaciones y el n´
umero de variables. Para poder resolver un sistema de ecuaciones como
las que se dan en un circuito es necesario tener el mismo n´
umero de variables que de inc´ognitas. En el
caso de las corrientes no nos preocuparemos de la independencia lineal ya que las ecuaciones siempre
van a ser linealmente independientes por la manera que funcionan las leyes de Kirchhoff. Sin embargoexplicaremos muy brevemente el concepto de independencia lineal. Para que un conjunto de ecuaciones lineales sea linealmente independiente, se necesita que las ecuaciones no sean m´
ultiplos entre
si, o que no exista una ecuaci´
on que se obtenga como la suma de las otras ecuaciones en el sistema.
Una vez cumplidas estas condiciones podemos escribir nuestro sistema como una matriz. Para realizaresto utilizamos los coeficientes de cada una de las variables, y las colocamos en columnas ordenadas.
Ejemplo:
Con las siguientes ecuaciones creamos la matriz asociada a nuestro sistema de ecuaciones. Siendo
a nuestros coeficientes y las x nuestras variables

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 5
1

a4 x1 + a5 x2 + a6 x3 = 3

a7 x1 + a8 x2 + a9 x3 = 2
En este caso nuestra matriz quedar´ıa as´ı:

a1 a2 a3
a4a5 a6 
a7 a8 a9


Luego colocamos las respuestas a las ecuaciones en otra columna aparte.


a1 a2 a3 5
a4 a5 a6 3
a7 a8 a9 2
Con la matriz obtenida procedemos a utilizar el m´etodo de Gauss para resolver el sistema de
ecuaciones. Empezamos por asegurarnos que la primera entrada de nuestra matriz sea diferente de
cero, en el caso de las leyes de Kirchhoff con los circuitos nunca ser´a ceropor la manera en la cual
se obtienen las ecuaciones lineales. En primer lugar convertimos a las entradas debajo de nuestro
pivote en cero por medio de operaciones fila. Luego se busca el segundo pivote en el cual se volver´
a
a repetir el proceso con operaciones fila para igualar sus entradas a cero, este proceso se repite de
la misma forma en el tercer pivote. En el caso de encontrar en alguna otrafila una entrada debajo
del pivote que no sea cero se procede de la misma manera a convertir todas las entradas debajo en
cero por medio de operaciones fila. Este procedimiento se realiza siempre dependiendo del n´
umero de
columnas que el sistema tenga. Se debe recordar que antes de volver a cada entrada de los pivotes a
cero, el pivote en el caso de no ser igual a uno, se debe realizar una...