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Páginas: 6 (1465 palabras)
Publicado: 20 de agosto de 2014
Casos Especiales: Cubos
Objetivos de Aprendizaje
• Factorizar la suma de cubos.
• Factorizar la resta de cubos.
Introducción
En muchos sentidos, factorizar es cuestión de patrones — si reconoces los patrones que forman los números cuando se multiplican unos con otros, puedes usar esos patrones para separar esos números en sus factores individuales.
Algunospatrones interesantes surgen cuando estás trabajando con cantidades al cubo en polinomios. Específicamente, hay otros dos casos especiales a considerar: a3 + b3 y a3 – b3.
Veamos cómo factorizar sumas y restas de cubos.
Suma de Cubos
El término “al cubo” se usa para describir un número elevado a una potencia de tres. En geometría, un cubo es una figura de seis lados con todos sus ladosiguales; el volumen de un cubo con lado x puede representarse como x3. (¡Observa el exponente!)
Los números al cubo crecen muy rápido. 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, y 53 = 125.
Antes de ver la factorización de la suma de dos cubos, observemos los factores posibles.
Resulta que a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2). Revisemos estos factores multiplicando.¿(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3?
(a)(a2 – ab + b2) + (b)(a2 – ab +b2) Aplica la propiedad distributiva.
(a3 – a2b + ab2) + (b)(a2 - ab + b2) Multiplica por a.
(a3 – a2b + ab2) + (a2b – ab2 + b3) Multiplica por b.
a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3 Reorganiza los términos para combinar los términos semejantes.
a3 + b3 Simplifica
¿Viste eso? Cuatro de los términos secancelaron, dejándonos con el (aparente) binomio simple a3 + b3. Entonces, los factores son correctos.
Puedes usar este patrón para factorizar binomios de la forma a3 + b3, también conocidos como “la suma de cubos.”
La Suma de Cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2).
Ejemplo:
La forma factorizada de x3 + 64 es (x + 4)(x2 – 4x + 16).La forma factorizada de 8x3 + y3 es (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).
Ejemplo
Problema
Factorizar x3 + 8y3.
x3 + 8y3 Identifica que este binomio sea una suma de cubos: a3 + b3.
a = x, y b = 2y (como 2y • 2y • 2y = 8y3).
(x + 2y)(x2 – x(2y) + (2y)2) Factoriza el binomio como
(a + b)(a2 – ab + b2), restando a = x y b = 2y en la expresión.
(x + 2y)(x2 – x(2y) + 4y2) Eleva alcuadrado (2y)2 = 4y2.
Respuesta (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) Multiplica −x(2y) = −2xy (escribiendo primero el coeficiente).
Y es todo. ¡El binomio x3 + 8y3 puede factorizarse como (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)! Intentemos con otro.
Debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones de factorización.
Ejemplo
Problema
Factorizar 16m3 + 54n3.
16m3 + 54n3 Saca elfactor común 2.
2(8m3 + 27n3) 8m3 y 27n3 son cubos, entonces puedes factorizar 8m3 + 27n3 como la suma de dos cubos: a = 2m, y b = 3n.
2(2m + 3n)[(2m)2 – (2m)(3n) + (3n)2] Factoriza el binomio 8m3 + 27n3sustituyendo a = 2m y b = 3n en la expresión (a + b)(a2 – ab + b2).
2(2m + 3n)[4m2 – (2m)(3n) + 9n2] Eleva al cuadrado: (2m)2 = 4m2 y (3n)2= 9n2.
Respuesta 2(2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2)Multiplica −(2m)(3n) = −6mn.
Factorizar 125x3 + 64.
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
B) (5x + 4)(25x2 – 20x + 16)
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
Incorrecto. Revisa tus valores de a y b. b3 = 64, entonces ¿cuánto es b? La respuesta correcta es (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
B) (5x + 4)(25x2 – 20x +16)
Correcto. 5x es la raíz cúbica de 125x3, y 4 es la raíz cúbica de 64. Sustituyendo estos valores para a y b, obtienes (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
Incorrecto. Revisa tus valores de a y b. a3 = 125x3, entonces ¿cuánto es a? La respuesta correcta es (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
Incorrecto. Revisa los signos matemáticos; el término b2...
Objetivos de Aprendizaje
• Factorizar la suma de cubos.
• Factorizar la resta de cubos.
Introducción
En muchos sentidos, factorizar es cuestión de patrones — si reconoces los patrones que forman los números cuando se multiplican unos con otros, puedes usar esos patrones para separar esos números en sus factores individuales.
Algunospatrones interesantes surgen cuando estás trabajando con cantidades al cubo en polinomios. Específicamente, hay otros dos casos especiales a considerar: a3 + b3 y a3 – b3.
Veamos cómo factorizar sumas y restas de cubos.
Suma de Cubos
El término “al cubo” se usa para describir un número elevado a una potencia de tres. En geometría, un cubo es una figura de seis lados con todos sus ladosiguales; el volumen de un cubo con lado x puede representarse como x3. (¡Observa el exponente!)
Los números al cubo crecen muy rápido. 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, y 53 = 125.
Antes de ver la factorización de la suma de dos cubos, observemos los factores posibles.
Resulta que a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2). Revisemos estos factores multiplicando.¿(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3?
(a)(a2 – ab + b2) + (b)(a2 – ab +b2) Aplica la propiedad distributiva.
(a3 – a2b + ab2) + (b)(a2 - ab + b2) Multiplica por a.
(a3 – a2b + ab2) + (a2b – ab2 + b3) Multiplica por b.
a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3 Reorganiza los términos para combinar los términos semejantes.
a3 + b3 Simplifica
¿Viste eso? Cuatro de los términos secancelaron, dejándonos con el (aparente) binomio simple a3 + b3. Entonces, los factores son correctos.
Puedes usar este patrón para factorizar binomios de la forma a3 + b3, también conocidos como “la suma de cubos.”
La Suma de Cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2).
Ejemplo:
La forma factorizada de x3 + 64 es (x + 4)(x2 – 4x + 16).La forma factorizada de 8x3 + y3 es (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).
Ejemplo
Problema
Factorizar x3 + 8y3.
x3 + 8y3 Identifica que este binomio sea una suma de cubos: a3 + b3.
a = x, y b = 2y (como 2y • 2y • 2y = 8y3).
(x + 2y)(x2 – x(2y) + (2y)2) Factoriza el binomio como
(a + b)(a2 – ab + b2), restando a = x y b = 2y en la expresión.
(x + 2y)(x2 – x(2y) + 4y2) Eleva alcuadrado (2y)2 = 4y2.
Respuesta (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) Multiplica −x(2y) = −2xy (escribiendo primero el coeficiente).
Y es todo. ¡El binomio x3 + 8y3 puede factorizarse como (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)! Intentemos con otro.
Debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones de factorización.
Ejemplo
Problema
Factorizar 16m3 + 54n3.
16m3 + 54n3 Saca elfactor común 2.
2(8m3 + 27n3) 8m3 y 27n3 son cubos, entonces puedes factorizar 8m3 + 27n3 como la suma de dos cubos: a = 2m, y b = 3n.
2(2m + 3n)[(2m)2 – (2m)(3n) + (3n)2] Factoriza el binomio 8m3 + 27n3sustituyendo a = 2m y b = 3n en la expresión (a + b)(a2 – ab + b2).
2(2m + 3n)[4m2 – (2m)(3n) + 9n2] Eleva al cuadrado: (2m)2 = 4m2 y (3n)2= 9n2.
Respuesta 2(2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2)Multiplica −(2m)(3n) = −6mn.
Factorizar 125x3 + 64.
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
B) (5x + 4)(25x2 – 20x + 16)
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
Mostrar/Ocultar Respuesta
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
Incorrecto. Revisa tus valores de a y b. b3 = 64, entonces ¿cuánto es b? La respuesta correcta es (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
B) (5x + 4)(25x2 – 20x +16)
Correcto. 5x es la raíz cúbica de 125x3, y 4 es la raíz cúbica de 64. Sustituyendo estos valores para a y b, obtienes (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
Incorrecto. Revisa tus valores de a y b. a3 = 125x3, entonces ¿cuánto es a? La respuesta correcta es (5x + 4)(25x2 – 20x + 16).
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
Incorrecto. Revisa los signos matemáticos; el término b2...
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