LGEBRA VECTORIAL 2015

ÁLGEBRA VECTORIAL
MATEMÁTICA II_SANTA MARIA

MAGNITUDES FISÍCAS
›

ESCALARES: Asociadas a propiedades que
pueden ser caracterizadas a través de una
cantidad. Masa, densidad, temperatura, energía,
trabajo.

›

VECTORIALES:Asociadas a propiedades que se
caracterizan no sólo por su cantidad sino por su
dirección y su sentido. Velocidad, fuerza, cantidad de
movimiento, aceleración.

VECTORES
Unvector es un segmento orientado que se representa
gráficamente por una flecha que va desde el punto
llamado origen al punto llamado extremo.



Un vector se simboliza como u.

u

u

.

La longitud del vector es su módulo. Su módulo se indica


u

La recta a la que pertenece nos da la dirección y la orientación del
origen al extremo nos indica el sentido.
Por tanto un vector tiene origen, módulo,dirección y sentido


u

CLASIFICACIÓN DE VECTORES

 VERSOR: Todo vector de módulo 1
 VERSORES FUNDAMENTALES EN EL
PLANO Y EN EL ESPACIO:

Son los que tienen la dirección de los ejes
coordenados y el sentido de los semiejes positivos.

Componentes cartesianas o rectangulares de un vector
 En el plano:


definido por los=
puntos P1
u
Dado el vector

x1 ; y1 ) y P2 ( x2 ; y2 )
(=

Lascomponentes cartesianas o rectangulares son las proyecciones
de ese vector sobre los ejes de coordenadas.
:

Se puede definir por lo tanto a un vector como un par ordenado de números reales.
Esos números son las componentes del vector, en el orden x, y.
=
ux

x=
y2 – y1
2 – x1 ; u y


u =ux , u y =
( x2 − x1 ; y2 − y1 )

(

)

=
P1
Sean los puntos

6 ;4 ) y P2 ( 12;8 )
(=

Hallar las coordenadas delvector definido por ellos.

u = ux , u y = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) = ( 6,4 )

(

)

 En el Espacio
Dado el vector


u

=
definido por los
puntos P1

x1 ; y1 ; z1 ) y P2 ( x2 ; y2 ; z2 )
(=

Las componentes cartesianas o rectangulares son las proyecciones de ese vector
sobre los ejes de coordenados.
Se puede definir un vector como una terna ordenada de números reales.
Esos números son lascomponentes del vector, en el orden x, y , z.

=
ux

x=
y=
z2 – z1 u =ux ; u y ; uz =( x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 )
2 – x1 ; u y
2 – y1 ; uz

(

)

Sean los puntos
=
P1

4;1;1) y P2
(=

( 7;5;3 )

.

Hallar las coordenadas del vector definido por ellos

u = ux ; u y ; uz = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 ) = ( 7 − 4;5 − 1;3 − 1) = ( 3;4;2 )

(

)

MÓDULO DE UN VECTOR

Tomando


=
u


u=

u , u ) (6,4 ) ,
(=
x

y

2


u=

y

2

=

( 12 − 6 ) + ( 8 − 4 )
2

como ejemplo el vector de

u ; u ; u ) ( 3;4;2 ) ,
(=
x

z

ℜ3

2

=

62 + 42 =

36 + 16 =

, de componentes

su módulo es

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2

de componentes

su módulo es

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

Tomando


=
u

como ejemplo el vector de ℜ 2

2

2

=

32 + 42 + 22 =

9 + 16 + 4 =

29

52

COORDENADAS DELPUNTO MEDIO DE UN VECTOR
Las coordenadas del punto medio de un vector son la semisuma
de las coordenadas de sus extremos.
Sea el vector determinado por los puntos A = ( x1 ; y1 ) y B = ( x2 ; y2 )
Las coordenadas del punto medio serán :
xm

x1 + x2
ym
=
2

y1 + y2
2

 x + x2 y1 + y2 
;
Punto Medio M = ( xm ; ym ) =  1
2 
 2

Sea el vector del plano determinado por los puntos A = ( 2;3 ) y B = (8;5 )
Las coordenadas del punto medio serán:

xm
=

2+8
3+5
ym
=
2
2

Punto Medio M = ( xm ; ym ) =

( 5; 4 )

OPERACIONES CON VECTORES
Adición
El vector suma o vector resultante de varios vectores libres es el que
tiene por componentes la suma de las componentes correspondientes
de los sumandos.


u=

(


u x , u y ; v=

)

(

 
v x , v y ; u + v=

)

(u

x

+ v x , uy + v y

)

El vectorsuma es el mismo
independiente
del
método
aplicado para hallarlo.

1) Regla del paralelogramo
→

→

→

Dados los vectores u y v , si se toman vectores equipolentes a u y
→

a v con

el

mismo

→

→

origen, se define al vector suma u + v como la
→

→

diagonal de paralelogramo determinado por u y v que pasa por dicho
origen.

1) Regla de la poligonal
→

→

Dados dos vectores u y v , si se lleva...