LHopital

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matem´tica
a
Prof. Miguel Walker Ure˜a
n

Dpto. Matem´tica Aplicada
a
MA-1002: C´lculo 2
a
Ciclo 1-2014

Tema 1. La Regla de L’Hˆpital
o
[ versi´n 0.2, compilado el 7/3/2014]
o

Contenidos
1 Formas indeterminadas B´sicas
a
1.1 Un breve repaso . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 L´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Cocientes de“ceros” o de “infinitos”
1.1.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La Regla de L’Hˆpital . . . . . . . . . . . .
o

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1
1
1
6
9
11

2 Otras formas indeterminadas
2.1 “cero” por “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 “infinito” menos “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3Formas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
17
18

Referencias

20

1

Formas indeterminadas

1.1
1.1.1

0
0

e

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∞
∞

Un breve repaso
L´
ımites

Recordemos:
Definici´n 1.1 (L´
o
ımites). Sea f una funci´n D ⊆ IR → IR
o
1. Se dice que f tiene un l´
ımite en a ∈ D o simplemente que existe el l´
ımite de f (x) cuando x
tiende a a, siexiste L ∈ IR finito tal que
x ≈ a =⇒ f (x) ≈ L
es decir, que mientras m´s cerca est´ x del valor a, m´s cercano es el valor f (x) de L aunque
a
e
a
f no este definida en a.
Formalmente:
“ ∀ > 0, ∃ δ > 0, tal que |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| <

1

”

En tal caso se escribe
L = lim f (x)
x→a

o que f (x) → L cuando x → a.

En este punto, si x > a se dice que x tiende a a por la derechao que x → a+ y se escribe el
l´
ımite lateral
L = lim f (x)
x→a+

igualmente si x < a se dice que x tiende a a por la izquierda o que x → a− y se escribe el
l´
ımite lateral
L = lim f (x)
x→a−

2. Se dice que f tiene un l´
ımite en el infinito o simplemente que existe el l´
ımite de f (x) cuando
x tiende a ∞, si existe L ∈ IR finito tal que
|x| suficientemente grande =⇒ f (x) ≈ L
esdecir, que mientras m´s grande sea |x|, m´s cercano es el valor f (x) de L.
a
a
Formalmente:
“ ∀ > 0, ∃ N > 0, tal que |x| > N =⇒ |f (x) − L| <

En este punto si x > 0 se dice que x tiende a +∞
y se escribe
L = lim f (x)
x→+∞

igualmente si x < 0 se dice que x tiende a −∞ y se escribe
L = lim f (x)
x→−∞

2

”

3. Se dice que f es infinito en a ∈ D o que f es infinito cuando xtiende a a,
x ≈ a =⇒ |f (x)| es arbitrariamente grande
es decir, que mientras m´s cerca est´ x del valor a, m´s grande es el valor |f (x)|.
a
e
a
Formalmente:
“ ∀ > 0, ∃ M > 0, tal que |x − a| < δ =⇒ |f (x)| > M ”
En tal caso se escribe
lim f (x) = ∞

x→a

En este punto si para x ≈ a, f (x) > 0 se dice que
f (x) tiende a +∞ y se escribe
lim f (x) = +∞

x→a

igualmente si para x ≈a, f (x) < 0 se dice que f (x) tiende a −∞ y se escribe
lim f (x) = −∞

x→a

De manera an´loga va a decir que f (x) tiende al infinito si f (x) es arbitrariamente grande al
a
cambiar x → a por:
x → a+

∨

x → a−

∨

x → +∞

∨

x → −∞

Nota 1.1. Si una funci´n est´ definida en x = a y
o
a
lim f (x) = f (a)

x→a

entonces se dice que f es continua en x = a.
Ejemplo 1.1.Sea

√
L = lim

x→2

√

x+4
x−5

x+4
la funci´n f (x) = x−5 est´ definida en el dominio [ −4, +∞[ \{5} por lo que claramente est´
o
a
a
definida en x = 2 y el l´
ımite se calcula por simple evaluaci´n
o
√
√
√
x+4
2+4
6
=
=−
L = lim
x→2 x − 5
2−5
3

adem´s f es una aplicaci´n continua en x = 2
a
o
3

Nota 1.2. Cuando el l´
ımite existe es unico.
´
Note que,...