Li mites y continuidad de funciones 1

Límite y continuidad de funciones
Luis Ángel Zaldívar Cruz
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Tecnológico de Tehuacán

13 de mayo de 2014

1.

Límite de una función

La idea más importante en el cálculo es la de límite. El concepto de límite
está en los fundamentos de casi todo el análisis matemático, por lo que su
comprensión es absolutamente esencial. El estudiante no deberíasorprenderse
si encuentra la discusión más que compleja y quizás difícil. Sin embargo, ésto en
lugar de provocar desaliento debería fortalecer la búsqueda de un entendimiento
preciso del concepto de límite, ya que una vez alcanzado su recompensa será un
buen dominio de los procesos básicos del cálculo.
Comenzaremos con una discusión intuitiva del concepto de límite y pospondremos la descripción formal paradespués. Podría parecer extraño que sea
posible trabajar con una idea y aplicarla sin definirla precisamente, pero históricamente el concepto de límite se desarrolló en esta manera. En las etapas
iniciales del desarrollo del cálculo nunca se hizo—en el sentido moderno—una
formulación precisa del concepto. La historia demuestra que con mucha frecuencia la parte esencial y práctica de una doctrinamatemática se comprende
intuitivamente mucho antes de que se llegue a formar una base racional para
dicha doctrina. Cuando la idea imprecisa del concepto de límite se constituyó en
un problema, entonces se buscó una mejor manera de abordarla, alcanzándose
así una base más sólida para el cálculo.
Procedemos a continuación a la formulación intuitiva del concepto de límite.
Sea a un número realcontenido en un intervalo abierto y sea f una función
definida en todo punto de este intervalo, excepto posiblemente en a. A veces
es de interés conocer cómo se comportan los valores f (x) de la función cuando
los valores de la variable x toman valores cada vez más cercanos a a, pero no
necesariamente igual a a. De hecho, en muchos casos, el número a no se encuentra
en el dominio de f , esto es, f (a)no está definido. Hablando de manera informal,
a veces se formula la siguiente pregunta: ¿Cuando x se acerca cada vez más a
a (con x = a), acaso f (x) se acerca también a un número L? Si la respuesta es
afirmativa se dice que f (x) tiende a L cuando x tiende a a, o que el límite de
f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe:
l´ım f (x) = L.

x→a

1

Figura 1: Recta tangente en el punto P .
Si sesabe que f (x) tiende a algún número L cuando x se aproxima a a, se dice
que el límite de f (x) cuando x se aproxima a a existe, o que l´ımx→a f (x) existe.
La noción de límite es fundamental para el estudio de muchos conceptos de
las matemáticas y de la física. Para ilustrar ésto estudiaremos dos problemas:
1. Determinar la recta tangente a una curva en un punto dado P .
2. Determinar lavelocidad en cualquier instante t de un objeto que se mueve
sobre una trayectoria recta.

1.1.

Recta tangente

En geometría plana, la recta tangente l en un punto P sobre una circunferencia se puede definir como la recta que tiene solamente un punto P en común
con tal circunferencia. Esta definición no puede aplicarse a cualquier gráfica, ya
que una recta tangente puede cortar la gráfica varias veces,como se muestra en
la Figura 1.
Para identificar la recta tangente l a la gráfica de una función en un punto
P (a, f (a)), basta especificar la pendiente m de l, ya que ésta y el punto P
determinan completamente a la recta. Para encontrar m se escoge otro punto
Q(x, f (x)) sobre la gráfica y se considera a la recta que pasa por P y Q, como
se muestra en la Figura 2. La recta P Q es una rectasecante de la gráfica.
Sea mP Q la pendiente de la recta secante P Q. Ahora, consideramos cómo
varía mP Q cuando Q se aproxima a P . Si Q se aproxima a P por la derecha
se tiene la situación que se muestra en la Figura 3, donde se puede observar
que la recta secante P Q gira alrededor del punto P y al hacerlo su posición se
acerca más a la posición de la recta tangente; dicho de otro modo, cuando Q...