Li Mites

Unidad
 I:
 Límites
 y
 Con2nuidad
 
de
 Funciones
 
Docente:
 Cris2an
 Barrera
 

Límites
 

- tQ.1

Límites

Es posible que en alguna ocasión, en un estacionamie
al máximo al automóvil de enfrente, pero sin desear go
Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero s
en matemáticas y tiene que ver con el concepto de lím
Cálculo. Básicamente, se considera que unavariable
específico, y se examina el efecto que esto tiene sobre
considérese la funci6n
ocasión, Por
en ejemplo,
un estacionamiento,
haya tenido

Es posible que en alguna
al máximo al automóvil de enfrente, pero sin desear golpearlo,x-3 -o 1ni siq
f(x) = Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”,
x - 1 es
’ m
en matemáticas y tiene que verAunque
con elnoconcepto
de enlímite,queinteresar
es funda
está definida
x = 1, puede
la d
lo valores
la función
conforme
x seacerca
acercaalmucho
a
Cálculo. Básicamente, se considera
quede una
variable
“se
máxim
algunos valores de x que son ligeramente inferiores a
específico, y se examina el efecto
que esto tiene sobre los valores de l
superiores a la unidad, con los correspondientes valore
10 LIMITES Y CONTINUIDAD
Para
 entender que
 
un
 límite,
 
analicemos
 llos
a
 siguiente
 
función:
 
Pores
 
ejemplo,
considérese
la
funci6n
valores
están
cercanos a un ndmero, el 3. De ‘hech

Concepto
 de
 Límite
 

382

cercanos a 1, sin importar si x se aproxima a 1 desde l
derecha (x > I),x-3los-correspondientes
valores def(x) se
1
f(x)es =
a 3. Esto
también
evidente en la gráfica fdeque apa

x

- 1’

f@.fAunque no está definida enx =TADLA
1, puede
interesar la determinación de
< l acerca mucho
x > 1
lo valores de la función conformexx se
a l. En la Tabla 10
X
f [x)
x
f (XI
algunos valores de x que son ligeramente inferiores
a 1, y otros que so
0.8
2.44
1.2
3.64
superiores a la unidad, con los0.9
correspondientes
de Ia función.
2.71
1.1 valores
3.31
2.8525el 3.1.05
3.1525
los valores están cercanos aun 0.95
ndmero,
De ‘hecho,
conformex tom
0.99
2.9701
1.01
3.0301
cercanos a 1, sin importar si x 0.995
se aproxima
1 desde
la izquierda (x <
2.985025’ aI.005
3.015025
0.999
2.997001
3.003001
derecha (x > I), los correspondientes
valores1.001
def(x)
se vuelven cada ve
a 3. Esto es también evidente en la gráfica fdeque aparece en la Figur1

FIGURATADLA
I O.1 f@.f
x < l

x > 1

IGURA I O.1

Concepto de
 Límite
 

ue, aunque la funcijn
no está definida
en x = 1 (como se señala mediante el pequeño
Aunque
 la
 función
 no
 está
 

 definida
 en
 x
 =
 1,
 los
 valores
 de
 la
 función
 
írculo), las valores
de la función
semaproximan
cada
vez
máscada
 
a 3 vconforme
se
 aproximan
 
cada
 vez
 
ás
 a
 3
 conforme
 
x
 “se
 
acerca
 ez
 más”
 a
  x “se acerca
2ende
 
hacia
 
1).
  Para
 
esto
  se
  dice
 
límite
 
de
  f(x)
 
ada vez más” a 1
  (o
 
1 (o
tiende
hacia
1).expresar
 
Para expresar
estoque
 seel
 dice
que
el límite de f(x)
conforme
 
acerca
 
3,
 y
 se
 escribe
 
onforme x se acerca
a x1,
 se
 es
3, ya
 1se,
 es
 escribe
3

x -- I
lim ___ =
c-I
x - 1

3

epuede hacer que f(x) esté tan cerca de 3 como se desee, haciendo que x se aproxime
o suficiente a 1 , pero sin llegar a ser igual.
También puede considerarseel límite de una función conforme
x tiende a algún número del dominio. Por ejemplo, se examina el límite def(x) = x + 3 conforme x se
proxima (o tiende) a 2 (x
2):
-+

lím (x
,-2

+ 3).

aunque la funcijn no está definida en x = 1 (como seseñala mediante el peque
o), las valores de la función se aproximan cada vez más a 3 conforme x “se ace
vez más” a 1 (o tiende hacia 1). Para expresar esto se dice que el límite de f(
rme x se acerca a 1, es 3, y se escribe
3

Concepto
 de
 3 Límite
 
x -- I
lim ___ =
c-I
x - 1

También
 
límite
 
de
  una
 se
función
 
conforme
 
x
  2ende
 
ede hacer que
f(x)puede
 ...