Libro 1

Curso: Matem´ticas II a

Primera pr´ctica dirigida - Soluciones a
Viernes 26 de Agosto del 2011

1. Encuentre el l´ ımite de las sucesiones dadas usando el ´lgebra de l´ a ımites y el principio arquimedieano √ l´ an cuando sea necesario). ım (puede tambi´n asumir que l´ e ım an =
n→∞ n→∞

a) an =

3n2 n2 +1 n→∞

l´ an = l´ ım ım

n→∞

3 3 1 = 1+0 =3 1 + n2 1 1+
1 n2

b) an =√ n n2 +1 n→∞

l´ an = l´ ım ım

√ n n→∞ √2 +1 n2

1

= l´ ım

n→∞

=√

1 =1 1+0

2. Las siguientes sucesiones son convergentes. Calcule el l´ ımite usando la siguiente propiedad:
n→∞

l´ an = l´ an+1 ım ım
n→∞

a) an =

1 n! Soluci´n: o L = l´ an = l´ ım ım
n→∞ n→∞

1 1 1 1 1 = l´ ım · = l´ ım · l´ ım =0·L=0 (n + 1)! n→∞ n + 1 n! n→∞ n + 1 n→∞ n!

3. Los siguientespostulados son verdaderos. Enuncie el postulado rec´ ıproco. ¿Es verdadero o falso? Justifique. Obs. El rec´ ıproco de p → q es q → p. a) Si l´ an existe entonces l´ c · an existe para toda constante c. ım ım
n→∞ n→∞

Soluci´n: Rec´ o ıproco: Si l´ n→∞ c · an existe para toda constante c entonces l´ n→∞ an existe. ım ım Verdadero porque podemos tomar en particular c = 1 y el resultado se obtiene.b) Si l´ an existe entonces an es acotada. ım
n→∞

Soluci´n: Rec´ o ıproco: Si an es acotada entonces l´ n→∞ an existe. Esto es falso porque la sucesi´n ım o puede divergir de forma acotada, por ejemplo an = (−1)n . Soluci´n: Rec´ o ıproco: Si l´ n→∞ (an − L) = 0 entonces l´ n→∞ an = L. Esto es verdadero porque ım ım podemos sumar L a ambos lados para obtener el resultado. 4. Demuestre que si(an )n∈N esta acotada y l´ bn = 0 entonces l´ an · bn = 0. ¿Es el rec´ ım ım ıproco cierto? n→∞ n→∞ Justifique. Soluci´n: Si an es acotada podemos asumir la existencia de una constante K tal que 0 ≤ |an | ≤ K o para todo n. Multiplicando por |bn | se obtiene que 0 ≤ |an · bn | ≤ K|bn |. Pero l´ n→∞ bn = 0 implica ım l´ n→∞ K|bn | = 0. El Teorema del S´ndwich nos dice entonces que l´ n→∞ |an · bn |= 0 y por ello ım a ım l´ n→∞ an · bn = 0. ım 5. Encuentre los 5 primeros t´rminos de las siguientes sucesiones. Determine la monotonicidad de la e sucesi´n y mencione si son acotadas. o 1

a)

n2 1 4 9 16 25 : , , , , . Estrictamente creciente, no acotada. n + 100 101 102 103 104 105 1 1 1 1 1 b) − 2 : −1, − , − , − , − . Estrictamente creciente, acotada. n 4 9 16 25 (−1)n 3 2 5 4 c) 1 + :0, , , , . No mon´tona, acotada. o n 2 3 4 5

6. El siguiente postulado es falso: “Si an < 0 para todo n y l´ an existe entonces l´ an < 0”. Busque ım ım n→∞ n→∞ un contraejemplo. Soluci´n: Con tomar an = −1/n2 es suficiente. o 7. Encuentre los primeros 10 t´rminos de la sucesi´n dada por e o an+1 =
1 2 an , 3an + 1,

si an es un n´mero par. u si an es un n´mero impar u

y a1 = 10. Basado enestos c´lculos, ¿la sucesi´n aparenta ser convergente o divergente? ¿Es acotada? a o Soluci´n: Los primeros 10 t´rminos son: 10,5,16,8,4,2,1,4,2,1. Como la sucesi´n salta entre 4,2,1 al final o e o se sigue que es divergente (este es otro ejemplo de una sucesi´n acotada que no es convergente). o 8. Dada la sucesi´n o √ 2, √ 2 2, 2 √ 2 2, ...

a) Encuentre una f´rmula recursiva. o √ √ Soluci´n: Essuficiente definir a1 = 2 y an+1 = 2an . o b) Demuestre que an < 2 para todo n. √ √ √ √ Soluci´n: Por hip´tesis a1 = 2 < 2. En general an+1 = 2an < 2 2 = 2 lo cual implica la o o proposici´n. o c) Pruebe que la sucesi´n es creciente. o Soluci´n: Como an < 2 y los elementos de la sucesi´n son √ o o todos positivos tenemos que a2 < 2an . n Tomando la ra´ cuadrada encontramos lo siguiente an < 2an =an+1 . ız d ) ¿Por qu´ las afirmaciones previas implican que la sucesi´n es convergente? Calcule el l´ e o ımite. Soluci´n: Toda sucesi´n creciente y acotada es convergente. Como L = l´ n→∞ an = l´ n→∞ an+1 = o √ ım ım √ o l´ n→∞ 2an = 2L usando ´lgebra podemos demostrar que L = 2. ım a
n 9. La sucesi´n an = n+1 es convergente. Calcule el l´ o ımite L. ¿A partir de qu´ n0 podemos garantizar que e...