Libro Buenisimo Calculo

UGR

4 noviembre 2009

Cálculo

Departamento de Análisis Matemático

Índice

Índice
Índice i
1
1.1
1.3
1.6

Números reales 3
El conjuntos de los números reales 3
1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 5
Valor absoluto 6 1.4 El principio de inducción 7 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 10
Ejercicios 11

2 Números complejos 15
2.1 Introducción 15
2.2 Forma binómica de un númerocomplejo 17
2.3 Representación
gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo 18 2.4 Forma polar y argumento de un
número complejo 19 2.5 Funciones elementales 22 2.6 Ejercicios 26
3 Sucesiones de números reales 31
3.1 Definición y propiedades. 31 3.2 Sucesiones parciales 33 3.3 Monotonía 34
siones divergentes 35 3.5 Criterios de convergencia 37 3.6 Ejercicios 38

3.4 Suce-

4 Límites ycontinuidad 47
4.1 Límite funcional 47 4.2 Límites infinitos y en el infinito 48 4.3 Cálculo de límites 49
4.4 Continuidad 50
4.5 Teorema del valor intermedio 51
4.6 Monotonía 53
4.7 Ejercicios 54
5 Derivabilidad 63
5.1 Definición. Recta tangente. 63 5.2 Reglas de derivación 65 5.3 Teorema del valor me5.4 Reglas de L’Hôpital 68
5.5 Derivadas de orden superior 68
5.6 Polinomio
dio 66
de Taylor 70 5.7Concavidad y convexidad 74 5.8 Algunas aplicaciones de la derivada 74
5.9 Ejercicios 76
6 Integración 105
6.1 Funciones integrables 105 6.2 Teorema fundamental del Cálculo 108 6.3 Cálculo de áreas
de regiones no acotadas. Integrales impropias 111 6.4 Cálculo de primitivas 114 6.5 Aplicaciones de la integral 123 6.6 Ejercicios 125
7 Series numéricas 151
7.1 Definición y propiedades 151 7.2 Convergenciaabsoluta e incondicional 153 7.3 Criterios
de convergencia para series de términos no negativos 154 7.4 Otros criterios 155 7.5 Suma
de series 156 7.6 Ejercicios 159
8 Series de potencias 171
8.1 Definición 171
8.2 Criterios de convergencia 172
8.3 Funciones definidas mediante
series de potencias 173 8.4 Desarrollo de Taylor 174 8.5 Cálculo del desarrollo en serie de
potencias 174 8.6 Algunasaplicaciones de las series de potencias 176 8.7 Ejercicios 178
9 Límites y continuidad de funciones de varias variables 185
9.1 El espacio euclídeo Rn 185
9.2 Funciones de varias variables 189
9.3 Límite funcional 190 9.4 Continuidad 192 9.5 Extremos absolutos 193 9.6 Ejercicios 193
10 Diferenciabilidad 199

–i–

Índice

10.1 Derivadas parciales 199 10.2 Función diferenciable 200 10.3 Reglas dederivación 203
10.4 Teorema de la función inversa y Teorema de la función implícita 203 10.5 Polinomio de
Taylor 207 10.6 Extremos relativos 208 10.7 Extremos condicionados 212 10.8 Extremos
absolutos 216 10.9 Ejercicios 217
11 Integrales múltiples 261
11.1 Integrales dobles 261 11.2 Integración en dominios acotados 262 11.3 Integrales en
dimensiones superiores 265 11.4 Cambio de variable 265 11.5Aplicaciones 269 11.6 Ejercicios 269
12 Ecuaciones diferenciales ordinarias 281
12.1 Introducción 281
12.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 283
12.3 Métodos
de resolución de edos de primer orden 285 12.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden
superior 295 12.5 Ejercicios 301
A Funciones 319
A.1 Definiciones 319 A.2 Funciones elementales 326
B Geometría 337
B.1 Parábolas, elipses ehipérbolas 337 B.2 Superficies cuadráticas 338
C Algunas tablas 343
C.1 Derivadas 343 C.2 Desarrollo de Taylor 344 C.3 Primitivas 344
D

Algunos ejemplos y contraejemplos 347
Glosario 349

– ii –

Números reales

El conjuntos de los números reales

Números reales
1
Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los números reales aunque se pueden
agrupar en dos variantes: constructivos yaxiomáticos. Los primeros son demasiado laboriosos
para un curso de Cálculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemos
asumido que el conjunto de los números reales es conocido por el lector y elegimos la definición
axiomática de este conjunto.

1.1 El conjuntos de los números reales
Vamos a definir el conjunto de los números reales, R, en términos de qué sabemos hacer con...