Libro calculo

Divulgaciones Matem´ticas Vol. 10 No. 2(2002), pp. 149–159 a

C´lculo del n´ mero π mediante a u funciones trigonom´tricas e
Calculation of π by mean of trigonometric functions Di´medes B´rcenas (barcenas@ciens.ula.ve) o a Olga Porras (porras@ciens.ula.ve)
Departamento de Matem´tica a Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes M´rida 5101, Venezuela e
Resumen Mediante el uso de lasfunciones trigonom´tricas seno y tangente se da e una demostraci´n elemental de la existencia del n´mero π, as´ como un o u ı a c´lculo aproximado del mismo. Palabras y frases clave: n´mero π, funciones trigonom´tricas, seno, u e tangente. Abstract By mean of the trigonometric functions sinus and tangent an elementary proof of the existence of number π is given, as well as an approximate evaluation ofit. Key words and phrases: number π, trigonometric functions, sinus, tangent.

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Introducci´n o

En la Escuela Primaria se nos ense˜o que la longitud de la circunferencia de n´ un c´ ırculo es igual a 2πr, donde r es el radio de la circunferencia y π = 3,1416. Se nos ense˜o tambi´n que el area de un c´ n´ e ´ ırculo es igual a πr 2 , donde r es el radio y π = 3,1416. Armados con estainformaci´n proced´ o ıamos al c´lculo de areas de c´ a ´ ırculos y longitudes de circunferencias y los pocos afortunados -si hab´ alg´n afortuıa u nado en aquel auditorio infantil - capaces de memorizar las f´rmulas de area y o ´
Recibido 2001/11/29. Aceptado 2002/11/08. MSC (2000): Primary 97-01; Secondary 33B10.

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Di´medes B´rcenas, Olga Porras o a

longitud, pod´ eventualmente calcularel area de un c´ ıan ´ ırculo o la longitud de su circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - ¿o quiz´s alguien? a se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito m´gico: π = 3,1416. a M´s tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidad a los temas de area y longitud. All´ aprendimos que el per´ ´ ı ımetro o longitud de un pol´ ıgono es igual a la suma delas longitudes de sus lados y que el area de un pol´ ´ ıgono es igual al semiproducto del per´ ımetro por la apotema; preocup´ndonos poco, m´s bien nada, por el significado de estas f´rmulas a a o matem´ticas. a En esta etapa de nuestra formaci´n dimos un salto cualitativamente grande o en el estudio del n´mero π al aprender que este n´mero fue profundamente u u estudiado por Arqu´ ımedes mientrasinvestigaba precisamente las nociones de area y longitud. ´ Arqu´ ımedes, el m´s famoso de los matem´ticos de la antig¨edad, conoc´ a a u ıa las f´rmulas de area y longitud para el caso de pol´ o ´ ıgonos y se propuso conocer f´rmulas an´logas para el caso de c´ o a ırculos y circunferencias; en la b´squeda u de su objetivo, Arqu´ ımedes se represent´ la circunferencia como sucesiones de o pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia. Para calcular el area de un c´ ´ ırculo, Arqu´ ımedes construy´ pol´ o ıgonos regulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c´ ırculo y observ´ que o a medida que duplicaba el n´mero de lados de los pol´ u ıgonos, aumentaba el area de los pol´ ´ ıgonos inscritos, mientras disminu´ el area de los pol´ ıa ´ ıgonoscircunscritos. Mediante este procedimiento observ´ tambi´n que a medida que aumeno e taba el n´mero de lados, las areas de los pol´ u ´ ıgonos inscritos y circunscritos se acercaban a un mismo valor. Este valor com´n lo defini´ como area del c´ u o ´ ırculo la cual es igual a πr 2 . Utilizando pol´ ıgonos regulares de 96 lados, Arqu´ ımedes logr´ la siguiente estimaci´n de π: o o 3,1416 < π < 3,1442; lacual no es la primera aproximaci´n de π ya que en La Biblia se estima π o con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los egipcios usaron una aproximaci´n de π igual a 3.16. o Tampoco terminaron con Arqu´ ımedes los c´lculos aproximados del n´mero a u π; pues seg´n [1], el matem´tico chino Zu Chong Zhi (420-500 D.C.) calcul´ π u a o con una aproximaci´n de siete...