libro calculo

Álgebra e
Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg

Álgebra e Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg

Álgebra e Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
2 de enero de 2013

II

Prólogo

XVII

1 Lenguaje Matemático

1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

1

1.2 Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Las Leyes de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2 Verdad lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Contradicciones

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Equivalencia lógica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.6 Verdades lógicas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1Negación de una proposición dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Demostraciones por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Demostraciones por contraposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 30
Autoevaluación 1

36

2 Los Números Reales

37

2.1 Sistemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Operaciones Básicas en los Números Reales:
Suma y Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Orden de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Conjuntos deNúmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III

2.5 Completud de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.1 Ecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.2 La ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 59
2.6.3 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.4 Inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.5 Inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.6 Inecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 63
2.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Autoevaluación 2
3

74

Relaciones y
Funciones

75

3.1 Pares Ordenados y Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Noción intuitiva . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Gráfico de Relaciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Ecuación e inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Concepto de Función y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 Gráficos de las Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6...