libro de analisis

11
INTEGRALES MÚLTIPLES

11.1

Introducción

En el volumen 1 se estudiaron las integrales S~ f(x) dx, primero para funciones definidas y acotadas en intervalos finitos, y luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos. En el capítulo 10 del volumen II se ha generalizado
el concepto de integral introduciendo las integrales de línea. Este capítulo extiende el concepto en otradirección. El intervalo unidimensional
[a, b] se reemplaza
por un conjunto Q bi-dimensional, llamado región de integración. Consideremos
primero regiones rectangulares;
luego consideraremos regiones más generales con
contornos curvilíneos. El integrando es un campo escalar f definido y acotado en
Q. La integral que resulta se llama integral doble y se representa mediante los
símbolos

JJJ,J J J(x,

o

y) dx dy.

Q

Q

Como en el caso uni-dimensional,
los símbolos dx y dy no desempeñan
ningún papel en la definición de la integral doble; no obstante, son útiles en el
cálculo y transformación
de integrales.
El programa de este capítulo consta de varias partes. Discutimos primero
la definición de integral doble. La introducción es análoga al caso uni-dimensionaltratado en el volumen l. Se define la integral primero para funciones escalonadas
y luego para funciones más generales. Como allí, la definición no proporciona
un método para el cálculo efectivo de las integrales. Veremos que gran número
de integrales dobles que se presentan en la práctica pueden calcularse por integración unidimensional
reiterada.
Encontraremos
también una conexión entre
lasintegrales dobles y las de línea. Asimismo se dan aplicaciones de las integrales
dobles a problemas de áreas, volúmenes, masas, centros de gravedad y conceptos
431

Integrales

432

relacionados con aquéllos. Por último
ceptos al espacio de n dimensiones.

11.2

múltiples
indicamos

el modo de extender

los con-

Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas

Sea Q unrectángulo,
y [e, d],

producto

x [c,d]=

Q= [a,b]

cartesiano

de dos intervalos

e

{(X,y)lxE[a,b]

cerrados

[a, b]

yE[c,d]}.

y

t

I

¡".h]

{J

x [c.dJ

/

d - - - --- ,...--.-----r---r-,-----,-,

e - - - - - -+---'--'--"----'-~

--t -~~----.\"
1"

FIGURA

11.1

cartesiano

Rectángulo Q producto
de dos intervalos.

La figura 11.1 muestra unejemplo.
[a,b]
y [e,d],
respectivamente,

FIGURA

=

=

=

11.2

Consideremos

y

=

x

a

j,

P2

=

h

Partición de un rectángulo Q.

dos particiones

CVO'YI,'"

P, y P2 de

,Ym-I,Ym},

donde x,
a, x,
b, Yo
e, YI1l
d. Se dice que el producto cartesiano P, X P2
es una partición de Q. Puesto que P, descompone [a, b] en n subintervalos y P2
descompone[e, d] en m subintervalos, la partición P=Pl X P, descompone Q en
mn subrectángulos. La figura 11.2 muestra un ejemplo de partición de Q en 30 subrectángulos. Una partición P' de Q se llama más fina que P si P S; P', esto es, si
todo punto de P pertenece también a P'.
El producto cartesiano de dos sub intervalos abiertos de P, y P2 es un subrectángulo abierto (sin lados). Se llama subrectángulo abierto de P o de Q.

1ntegral doble de una función

escalonada

433

DEFINICIÓN
DE FUNCIÓN ESCALONADA.
Una función f definida en un rectángulo Q se llama escalonada si existe una partición P de Q tal que f es constante
en cada uno de los subrectángulos abiertos de P.

En la figura 11.3 se muestra un ejemplo de una tal función escalonada. Una
función escalonada también poseevalores precisos en cada uno de los puntos

y

FIGURA

11.3

Gráfica de una función

escalonada definida en un rectángulo

Q.

de los contornos de los subrectángulos, pero los valores en esos puntos no tienen
importancia en la teoría de la integración.
Si f y g son dos funciones escalonadas definidas en un rectángulo dado Q,
la combinación lineal c,f + c2g también es una función...