Libro de ejercicios resueltos de algebra

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Reconocimientos
La producci´n de este folleto incluye como una de sus como ponentes, el esfuerzo de los profesores del curso MA 1004 Algebra Lineal, que durante mi gesti´n como coordinador, coo laboraron en la elaboraci´n de ex´menes y tareas. A Osvaldo o a Acu˜a, Marco Alfaro, Miguel Alp´ n ızar, William Castillo, Adriana Garrido, Jorge Gonz´lez, Elvis Hurtado, Liliana Jim´nez, a e Jos´Jim´nez, Leonardo Marranghello, V´ e e ıctor Medina, Walter Mora, Mario Murillo, Francisco Quesada, Gabriela Rold´n, a Al´ Sheik, a todos ellos agradezco su colaboraci´n. Su particiı o o o a paci´n ha hecho posible que este folleto refleje una visi´n m´s colectiva sobre las tareas que enfrenta el curso. A todos muchas gracias y esperemos que el trabajo que se logr´ resumir en este folleto sea deutilidad para los estudiantes. o

Prof. Carlos L. Arce S.

´ Indice general
Presentaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi o 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Matrices 2.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . 1 9 9

2.2. Rango e independencia lineal . . . . . . . . . . . 20 3. Determinantes 4. Programaci´n Lineal o 5. Vectores, Rectas y Planos 29 35 415.1. Vectores n dimensionales . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Rectas y Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6. Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad 6.1. Espacios vectoriales 61

. . . . . . . . . . . . . . . . 61 vii

viii 6.2. Ortogonalidad y proyecciones . . . . . . . . . . . 72 7. Regresi´n Lineal o 8. Transformaciones lineales 9. Vectores y valores propios10.Ex´menes a 79 85 99 117

10.1. Ex´menes I ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 118 a 10.2. Ex´menes II ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 123 a a 10.3. Ex´menes I ciclo 1999 . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.4. Ex´menes II ciclo 1999 . . . . . . . . . . . . . . . 132 a 10.5. Ex´menes I ciclo 2000 . . . . . . . . . . . . . . . 138 a 10.6. Ex´menes II ciclo 2000 . . . . . . . . . . . . . . .146 a 10.7. Ex´menes I ciclo 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 152 a 10.8. Ex´menes II ciclo 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 159 a 11.Algebra Lineal con Mathematica 165

11.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 165 11.1.1. RowReduce . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.1.2. NullSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.1.3. Operaciones elementales . . . . . . . .. . 168 11.1.4. Sistemas con par´metros . . . . . . . . . . 170 a 11.1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 172

ix 11.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . 173

11.2.1. Normas, angulos y ... . . . . . . . . . . . . 173 ´ 11.2.2. Construcci´n de bases ortonormales . . . 174 o 11.2.3. Ortonormalizaci´n paso a paso . . . . . . 176 o 11.3. Regresi´n Lineal . . . . . . .. . . . . . . . . . . 177 o 11.3.1. Definici´n de procedimientos . . . . . . . 177 o 11.3.2. Ejemplo: regresi´n lineal m´ltiple . . . . . 178 o u 11.3.3. Ejemplo: ajuste de una recta . . . . . . . 181 11.3.4. Primitiva Fit . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.3.5. Ejemplo: ajustes por polinomios . . . . . 185 11.4. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . 190 11.4.1. Polinomiocaracter´ ıstico . . . . . . . . . . 191 ısticos . . . . . . . . . . 192 11.4.2. Espacios caracter´ 11.4.3. Ortonormalizaci´n de una base . . . . . . 192 o 11.4.4. Diagonalizaci´n ortogonal de A . . . . . . 193 o

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Presentaci´n o
Este material ofrece a los estudiantes de Algebra Lineal, una colecci´n de problemas resueltos con los ejercicios t´ o ıpicos del tema, considerando la orientaci´nque el curso MA 1004 o Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, ha tenido en los ultimos a˜os. ´ n Las soluciones a los ejercicios planteados, no s´lo tienen el o objetivo de “dar la soluci´n” si no de mostrar una apropiada o forma de exponer y organizar las ideas, a fin de promover la formaci´n de estilos de escritura que hagan buen uso del lenguaje o matem´tico. a Por otra parte, el...