libro de la espol

Capítulo 10
Geometría Analítica
Introducción
La geometría analítica es la rama de las matemáticas que usa el álgebra para
describir o analizar figuras geométricas. En un sistema de coordenadas cartesianas,
un punto del plano queda determinado por dos números, que son su abscisa y
su ordenada, recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un
único punto del plano.Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico, como es un punto del
plano; y un concepto algebraico, como es un par ordenado. Esta correspondencia
constituye el fundamento de la geometría analítica.
El razonamiento anterior es válido también para un punto en el espacio y una
terna ordenada de números.
Lo novedoso de la geometría analítica esque permite representar figuras
geométricas mediante ecuaciones del tipo R(x, y) = 0, donde R representa
una relación. Los problemas de la realidad física que nos rodea sobre el cálculo
de distancias u otras mediciones, pueden ser resueltos gracias a la geometría
analítica; para el efecto, el sistema de referencia es muy importante y debe ser
elegido arbitrariamente siempre y cuando ayude arepresentar de la forma más
sencilla posible las relaciones algebraicas.
En particular, las rectas pueden
expresarse como ecuaciones
polinómicas de dos variables (x, y)
de primer grado, por ejemplo:
2x + 6y = 0; y el resto de cónicas
como ecuaciones polinómicas de
segundo grado de dos variables
(x, y), como es el caso de la
circunferencia, x2 + y2 − 4 = 0. Este
hecho no fue visto connitidez hasta
el desarrollo del álgebra moderna
y de la lógica matemática, entre
finales del siglo XIX y principios

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del siglo XX, cuando a partir de la axiomática propuesta por los matemáticos
alemanes Zermelo y Fraenkel, se pudo entender por qué la geometría de los
griegos puede desprenderse de sus enunciados y convertirse en el estudio de las
relaciones que existen entrepolinomios de primer y segundo grado.

10.1 Rectas en el plano
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Explicar los elementos que definen una recta en el plano en forma
vectorial, paramétrica, general y de punto-pendiente.
* Dados dos puntos en el plano, calcular la distancia entre ellos y
determinar su punto medio.
* Obtener la ecuación de una recta en el plano y graficarla,dadas
condiciones sobre los elementos que la definen.
* Identificar condiciones de la pendiente para el paralelismo y
perpendicularidad entre rectas.
* Identificar el ángulo y punto de intersección entre dos rectas secantes.
* Aplicar el teorema de la distancia entre un punto y una recta.

La recta es la línea más corta que une dos puntos y constituye el lugar
geométrico de los puntos en elplano que están en una misma dirección. Es
uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Tal
como se ha mencionado en este texto, estos conceptos son considerados
primitivos, o sea que no es posible definirlos en base a otros elementos ya
conocidos. Sin embargo, es posible elaborar definiciones de ellos, en base
a los siguientes postulados característicos, quedeterminan relaciones entre
los entes fundamentales:

1. El punto es el inicio de todo.
2. Existen infinitos puntos e infinitas rectas.
3. Un punto pertenece a infinitas rectas.
4. Dos puntos determinan una única recta en el plano al cual pertenecen.
5. La recta determinada por dos puntos en un plano, pertenece al mismo plano.
Para continuar con el desarrollo del presente tema, ahora nos proponemosanalizar algunos conceptos relevantes.
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Capítulo 10
Geometría Analítica
10.1.1 Distancia entre dos puntos
A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se
conocen las coordenadas de dos puntos, se puede determinar la distancia
entre ellos midiendo la longitud del segmento de recta que los une. Por
ejemplo, si queremos saber cuánto ha recorrido la...