Libro de matematicas

3. RELACIÓN DE ORDEN EN LOS REALES GT-3
3.1 LA RECTA REAL
El conjunto de los números reales es ordenado. Geométricamente, podemos representar el conjunto de los números reales
mediante los puntosde una recta horizontal que llamamos recta real (Fig. 1). Es posible demostrar en un estudio riguroso
de geometría, que a cada número real le corresponde exactamente un punto sobre la recta y querecíprocamente, cada
punto de la recta corresponde a exactamente un número real, a lo que se le conoce como correspondencia biunívoca.

Fig. 1

La representación gráfica de los números como puntos deuna recta permite visualizar, sobre todo, las relaciones de orden.
La suma es aún una construcción lineal, pero para construir productos hay que pasar al plano.
Gráficamente, un número real a esmenor que un número real b, si en la recta real el punto asociado a a está a la izquierda
del punto asociado con b (Fig. 2).
(

)

a

b

Fig. 2

Formalmente, sean a y b dos números reales.Se dice a es menor que b, y se escribe a < b (o bien b mayor que a, y se
escribe b > a) si b a es un número positivo.
3.2 DESIGUALDADES
Se tiene la desigualdad
2x + 3 > 11,
en la cual x es unavariable. Si asignamos valores a la variable x podemos observar, en la tabla siguiente, que algunos
números producen enunciados verdaderos y otros producen enunciados falsos.
x
3
4
5
6

2x + 3 >11
9 > 11
11 > 11
13 > 11
15 > 11

Conclusión
Falso
Falso
Verdadero
Verdadero

Si se llega a un enunciado verdadero cuando se sustituye un número a en lugar de x, entonces a es unasolución de la
desigualdad. Así 5 y 6 son soluciones de 2x + 3 > 11, pero 3 y 4 no lo son.
Una desigualdad en una variable es un enunciado que involucra dos expresiones, donde al menos una expresióncontiene
la variable, separadas por uno de los símbolos de desigualdad , , o .
OBS. * Los símbolos < y > representan desigualdades estrictas, mientras que y son no estrictas.
* Si a, b

; a

b si...