Libro de L gica Matemática









I´ndice general





1.
Ca´ lculo Proposicional
















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1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2. Conectivos Lo´ gicos . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1. Conjuncio´ n, Disyuncio´ n y Negacio´ n
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4

1.2.2. Condicional . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3. Bicondicional . . . . . . . . . . . .
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1.3. Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . .
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1.4. Tautolog´ıas y Contradicciones . . . . . . .
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1.5. Equivalencias Lo´ gicas . . . . . . . . . . .
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1.6. Validez Lo´ gica deArgumentos . . . . . . .
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4.6. El Principio de Induccio´ n Matema´tica .


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5.
Relaciones


















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5.1.
Tuplas ordenadas y producto cartesiano
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5.2.
Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.3.
Propiedades de las Relaciones . . . . .
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5.4.
Representacio´ n Gra´fica de las Relaciones

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133
5.5.
Relacio´ n de Orden . . . . . . . . . . .
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5.6.
Relaciones de Equivalencia . . . . . . .
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6.

























































1 C´  P


“Al contrario”, continuo´ Tweedledee, “Si as´ı fue, as´ı pudo ser; si as´ı fuera, as´ı podr´ıa ser; pero como no es, no es. Es cuestio´ n de lo´ gica”
-Lewis Carroll
“Alicia a trave´s del espejo”





Segu´ n nuestras mejores estimaciones, el len- guaje humano ha sido una maneraeficiente de comunicarnos por alrededor de 100,000 an˜ os. Mucha de dicha eficiencia se debe al hecho que el significado de lo que decimos o escribimos de- pende tanto del contexto en el cual decimos o es- cribimos las cosas como del contexto en el que son escuchadas o leidas. Por ejemplo, “Invierno” representa una e´poca del an˜ o diferente depen- diendo si se encuentra en el hemisferio norte o sur, oen a´reas, como la nuestra, que cuenta u´ nicamente con dos estaciones. “Tengo hambre” significa que yo, Humberto Sermen˜ o, tiene ham- bre, y tiene un significado diferente si usted di- ce las mismas palabras. Las siguientes sentencias son tambie´n ejemplos del lenguaje cotidiano:

1. “Puede comer pastel o comer sorbete”.
2. “Si las vacas vuelan, entonces puede en- tender la teor´ıa de larelatividad”.
3. “Si puede resolver todos los problemas que se nos ocurran, entonces tendra´ 10 en la materia”.
4. “Todo salvadoren˜ o tiene un suen˜ o”.

¿Que´ significan exactamente estas senten- cias? ¿Puedo comer tanto pastel como sorbete o debo elegir un solo postre? Si la segunda senten- cia es cierta, ¿significa que la teor´ıa de la relati-
vidad es incomprensible? Si puede resolver algu- nosde los problemas que se nos ocurran, pero no todos, ¿tendra´ 10 en la materia? ¿Puede tener 10 au´ n cuando no pueda resolver alguno de los pro- blemas? ¿Implica la u´ ltima sentencia que todos los salvadoren˜ os tienen el mismo suen˜ o o puede cada uno tener un suen˜ o diferente?
Algo de incerteza es tolerable en la conver- sacio´ n normal. Desafortunadamente, cuando se necesita formular ideas demanera precisa -como en matema´ticas- estas ambigu¨ edades inherentes en el lenguaje del d´ıa a d´ıa se convierten en un problema. No es posible realizar un argumento exacto si no estamos completamente seguros de lo que significan las palabras. Es por esto que antes de comenzar nuestro estudio matema´tico, debemos investigar el problema de co´ mo hablar matema´ticamente.
En este cap´ıtulo se...