LIBRO DIFERENCIAL ULTIMA VERSION

´
CALCULO
DIFERENCIAL
Jorge Adelmo Hern´
andez Pardo*
Especialista en Matem´atica Avanzada
Universidad Nacional de Colombia
Profesor Asistente de la Universidad Distrital
“Francisco Jos´e de Caldas”

Edilberto Sarmiento**
Magister en Ciencia Matem´atica
Universidad Nacional de Colombia
Profesor Asociado de la Universidad Distrital
“Francisco Jos´e de Caldas”

Rodrigo Rinc´
on Zarta***Especialista en Matem´atica Avanzada
Universidad Nacional de Colombia
Profesor Asistente de la Universidad Distrital
“Francisco Jos´e de Caldas”

Mayo de 2010

*

email jahernandezp@udistrital.edu.co.
email esarmiento@udistrital.edu.co
***
email rrinconz@udistrital.edu.co
**

2

Prefacio
Este libro es el resultado de la experiencia de los autores orientando la asignatura calculo diferencial en algunasuniversidades del pais y trabajando en
temas matem´aticos relacionados con el calculo.
El libro ha sido elaborado pensando en que pueda ser seguido en las carreras
de tecnolog´ıa e ingenier´ıa, por tanto se han tenido en cuenta la mayor´ıa de
los temas y el orden de los programas de esta asignatura.
En cada una de las secciones del libro se presentan ejemplos resueltos, como
gu´ıa para el estudianteal resolver los ejercicios propuestos
El libro consta de cinco cap´ıtulos, en el primero se presentan los resultados
mas importantes de los n´
umeros reales y las inecuaciones, y se hace el desarrollo de algunos temas de geometr´ıa anal´ıtica como son las rectas y c´onicas,
necesarios para el desarrollo de los temas posteriores del calculo.
En el segundo capitulo se trabaja el concepto de relaci´ony funci´on, ejemplos, operaciones, las funciones se clasifican seg´
un propiedades geom´etricas
y algebraicas. Como la mayor´ıa de los textos en la actualidad se presentan
las trascendentes tempranas, se estudian m´as profundamente las funciones
trigonom´etricas, sus inversas, las logar´ıtmicas y exponenciales.
En el tercer capitulo se estudia el concepto de l´ımite, se presenta su definici´onformal, la demostraci´on de sus propiedades, el calculo de l´ımites algebraicos,
trigonom´etricos, infinitos, el estudio de las as´ıntotas de una funci´on y algunos
l´ımites de funciones trascendentes, para finalizar el capitulo se presentan los
i

ii

CAP´
ITULO 0. PREFACIO

conceptos de continuidad y algunos teoremas importantes del calculo.
En el cuarto y quinto capitulo se estudian lasderivadas y las aplicaciones
m´as importantes, finalizando con la regla de L’Hopital.
El libro presenta algunos aportes, en la organizaci´on de los temas, la presentaci´on de la funci´on exponencial y en particular el n´
umero e, que se obtiene al buscar aquella funci´on exponencial, cuando se conoce la pendiente,
es decir, aproximado por una sucesi´on, cuya ganancia es poder hablar tranquilamente encalculo diferencial de la funci´on exponencial y por lo tanto
de su inversa, la funcion logaritmo natural, sin necesidad del calculo integral para definir dicha funci´on. El concepto de extensi´on peri´odica de una
funci´on, el uso del teorema de intercalaci´on para determinar el l´ımite parte
entera, ejemplo 3.27 de la p´agina 195.
La mayor´ıa de gr´aficas son originales y se han elaborado en elprograma
PStricks anexo al programa MikTEX, solo cuatro han sido importadas de
Matlab.

iii

iv

CAP´
ITULO 0.

´Indice general
Prefacio

I

III

1. Los n´
umeros reales y la recta num´
erica

1

1.1. Los n´
umeros naturales: N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Los n´
umeros enteros: Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Los n´
umeros racionales: Q . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

3

1.4. N´
umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5. N´
umeros reales: R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6. Propiedades de los n´
umeros reales . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6.1. Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6.2. Propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7....