Libro Math Math Matrices 11 Hojas 2

676

CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si tienen los mismos elementos en los mismos lugares.
Matrices iguales

14 22
e0
2 4 1
c
d ϭ c1 2
d
0.5 1 1 Ϫ 1
0
2
2
Matrices diferentes
1 2
£3 4§
5 6

c

1 3 5
d
2 4 6

Igualdad de matrices
Las matrices A ϭ [aij] y B ϭ [bij] son iguales si y sólo si tienen la misma dimensión m ϫ n, y loselementos correspondientes son iguales, es decir,
aij ϭ bij
para i ϭ 1, 2, . . . , m y j ϭ 1, 2, . . . , n.

Ejemplo 1

Matrices iguales

Determine a, b, c y d si
c

1
a b
d ϭ c
5
c d

3
d
2

Solución Puesto que las dos matrices son iguales, los elementos correspondien■
tes deben ser iguales. Así debemos tener a ϭ 1, b ϭ 3, c ϭ 5 y d ϭ 2.

Adición, sustracción y multiplicación
escalar de matrices
Dosmatrices se pueden sumar o restar si tienen la misma dimensión. De no ser así,
la suma o la diferencia no está definida. Se suman o restan las matrices sumando o
restando elementos correspondientes. Para multiplicar una matriz por un número, se
multiplica cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Esto se llama
producto escalar.

Adición, sustracción y producto escalar de matrices
SeanA ϭ [aij] y B ϭ [bij] matrices de igual dimensión m ϫ n y sea c
cualquier número real.
1. La suma A ϩ B es la matriz m ϫ n obtenida al sumar elementos correspondientes de A y B.
A ϩ B ϭ 3aij ϩ bij 4

2. La diferencia A Ϫ B es la matriz m ϫ n obtenida al restar elementos
correspondientes de A y B.
A Ϫ B ϭ 3aij Ϫ bij 4

3. El producto escalar cA es la matriz m ϫ n obtenida al multiplicar cadaelemento de A por c.
cA ϭ 3caij 4

SECCIÓN 9.5 Álgebra de matrices

Ejemplo 2

677

Ejecución de operaciones algebraicas
con matrices
2 Ϫ3
A ϭ £0
5§
7 Ϫ 21

Sea

Cϭ c

7 Ϫ3 0
d
0
1 5

1
B ϭ £ Ϫ3
2

Dϭ c

0
1§
2

6 0
8 1

Ϫ6
d
9

Efectúe cada una de las operaciones indicadas o explique por qué no se puede
efectuar.
a) A ϩ B
b) C Ϫ D
c) C ϩ A
d) 5A
Solución

2
a) A ϩ B ϭ £ 0
7
b) C Ϫ D ϭ c

Ϫ3
1 0
3 Ϫ35 § ϩ £ Ϫ3 1 § ϭ £ Ϫ3
6§
3
Ϫ 12
2 2
9
2

1 Ϫ3
6
6 0 Ϫ6
7 Ϫ3 0
d
d ϭ c
d Ϫ c
Ϫ8
0 Ϫ4
8 1
9
0
1 5

c) C ϩ A no está definida porque no se pueden sumar matrices de distintas
dimensiones.
2 Ϫ3
10 Ϫ15
5§ ϭ £ 0
25 §
d) 5A ϭ 5 £ 0
7 Ϫ 12
35
Ϫ 52

■

Las propiedades del recuadro se derivan de las definiciones de la suma de matrices y de la multiplicación escalar, así como de las propiedadescorrespondientes de
los números reales.

Propiedades de la suma y multiplicación escalar de matrices
Sean A, B y C matrices m ϫ n y sean c y d escalares.
1A ϩ B 2 ϩ C ϭ A ϩ 1B ϩ C 2

AϩBϭBϩA
c1dA2 ϭ 1cd 2A

1c ϩ d 2A ϭ cA ϩ dA

c1A ϩ B 2 ϭ cA ϩ cB

Ejemplo 3

Propiedad conmutativa de la suma de matrices
Propiedad asociativa de la suma de matrices
Propiedad asociativa de la multiplicación
de escalaresPropiedades distributivas de los escalares
Multiplicación

Resolución de una ecuación de matrices

Resuelva la ecuación matricial
2X Ϫ A ϭ B
y determine el valor de la matriz X, donde
Aϭ c

2
Ϫ5

3
d
1

Bϭ c

4
1

Ϫ1
d
3

CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

678

Solución Aplicamos las propiedades de las matrices para determinar X.

American

athematical Society

2X Ϫ A ϭ B

Julia Robinson(1919-1985) nació en San Luis Missouri, y creció
en Point Loma, California. Debido
a una enfermedad, no asistió a la
escuela dos años, pero después con
ayuda de un tutor, terminó el quinto, sexto, séptimo y octavo grados
en solo un año. Más tarde, en la
San Diego State University, al leer
las biografías de matemáticos en
Men of Mathematics de E. T. Bell se
despertó en ella lo que llegó a ser
unapasión de toda su vida por las
matemáticas. Decía “No creo exagerar al destacar la importancia de
esos libros... en la vida intelectual
de un estudiante.” Robinson es famosa por su trabajo sobre el décimo
problema de Hilbert (página 708), el
cual pide un procedimiento general
para determinar si una ecuación
tiene soluciones con números enteros. Sus ideas dieron origen a una
respuesta completa al...