Libro MB 1

Capítulo 1
Números Reales
1.1.

Ecuaciones e inecuaciones en los números
reales

Una expresión algebraica en una variable puede estar dada, por ejemplo,
por expresiones como las siguientes:
x 5 p
;
x 5 4; j2x 5j
x2 4
Y cuando se hace referencia a resolver una ecuación o inecuación", se trata
de determinar todos los valores de la variable involucrada que veri…can que
dicha expresión sea cero(ecuación) o sea positiva o negativa (inecuación).
Así, se puede plantear el problema de determinar los valores de x que
satisfacen cada una de las siguientes condiciones:
x + 3; 2x2

4;

x+3=0
2x2
x
x2
p

x

5

Ecuación lineal

4>0

Inecuación cuadrática

5
<0
4

Inecuación racional

4=0

Ecuación con radical

En este capítulo resolveremos ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de
los números realesR. Al resolver estas ecuaciones e inecuaciones se emplearán
las operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación,división, potenciación y radicación), las relaciones de igualdad y de orden de…nidas en
R, así como las propiedades que estas satisfacen.
1

1.1.1.

Relación de igualdad

Dados los números reales a; b y c; la relación de igualdad satisface las
siguientes propiedades:Propiedades
1. Si a = b entonces a + c = b + c:
Esta propiedad se emplea, por ejemplo, al hallar x en la ecuación:
x+5=0
(x + 5) + ( 5) = 0 + ( 5)
x=

5

en la penúltima línea se empleó además la propiedad asociativa de la
adición.
2. Si a = b entonces ca = cb:
Esta propiedad se emplea, por ejemplo, al hallar x en la ecuación:
2x = 7
1
1
( )(2x) = ( )(7)
2
2
7
x=
2
En la penúltima línea se empleó lapropiedad asociativa de la multiplicación.
3. Si ac = bc y c 6= 0, entonces a = b: (Propiedad de cancelación)
Esta propiedad se emplea, por ejemplo, al resolver la ecuación:
8x2 = x
Una solución es x = 0:
La otra es cuando x 6= 0 : 8x: (x) = 1:x =) 8x = 1
Las soluciones son:

x=0

y
2

x=

1
8

Notemos que si no se considera el caso x = 0; se pueden llegar a absurdos
como el siguiente: 2x = 3x,luego 2 = 3 y concluimos que la ecuación no
tiene solución. Lo que es falso pues x = 0 es una solución.
Estas propiedades y otras relacionadas como la conmutativa, asociativa
y distributiva serán usadas al resolver ecuaciones de distintos tipos: lineales,
cuadráticas, racionales, con valor absoluto y con radicales.

1.1.2.

Relación de orden

Dados los números reales a; b y c; la relación de orden siguientes propiedades:
Propiedades
4. Si a < b, entonces a + c < b + c:
Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
x+5<3
(x + 5) + ( 5) < 3 + ( 5)

x<

2

En la penúltima línea se empleó además la propiedad asociativa de la
adición.
5. Si a < b y c > 0, entonces ca < cb:
Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
2x < 7
1
1
( )(2x) < ( )(7)
2
2
7
x<
2
En lapenúltima línea se empleó además la propiedad asociativa de la
multiplicación.
6. Si a < b y c < 0, entonces ca > cb:
3

Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
2x < 7
1
2

1
)(7)
2

( 2x) > (

7
2
En la penúltima línea se empleó además la propiedad asociativa de la
multiplicación.
7. Si ac < bc y c > 0, entonces a < b:
Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
x>

(x+ 5)(x2 + 1) < (3x

2)(x2 + 1)

Como x2 + 1 > 0; se cumple que:
x + 5 < 3x

2

y luego se usan la propiedad 4) dos veces y luego la propiedad 6), obteniéndose
7
2
Esta propiedad también es válida si se intercambia la relación < por
x>

:

8. Si ac < bc y c < 0, entonces a > b:
Esta propiedad se emplea cuando, por ejemplo, se trata de hallar x en la
inecuación:
(x + 5)( x2
Como -x2

1) < (3x

2)(x2

1)

1 < 0; se cumple que:
x + 5 > 3x

2

y luego se usan las propiedades 4) y 6) , obteniéndose

x<

4

7
2

9. Si 0 < a < b =) a2 < b2
Estas propiedades también son válidas si se intercambia la relación < por
>,
ó
:
A continuación se resolverán ecuaciones e inecuaciones de distintos tipos
en una variable, empleando para ello estas propiedades de los números reales.

1.1.3.

Ecuaciones e...

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