Libro Valdor

Axioma del supremo

El conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpo y de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos darrespuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla x2 = 2 es por eso que necesitamos dar otro axioma en algunas definiciones. Sea S ⊆ , definimos: Definición 0.1.1Se dice que un número real a es cota inferior de S si a ≤ s para todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotado inferiormente”. Definición 0.1.2Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ s para todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado superiormente”. Definición 0.1.3Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un conjunto acotado. , antes debemos introducir

Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[ ∪ [4, 5] entonces a = −2 es cotainferior para S. En efecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea el s ∈ S. Similarmente a = −1.5, a = −3, a = −1 son cotasinferiores de S. a = 7/2 no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es estrictamente menor que a . Al encontrar una cota inferior, de inmediatopodemos decir que el conjunto es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un conjunto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.
1 1 1 =1, 2 , 3 , ... . b = 2 es Ejemplo 0.1.5 Sea A = x ∈ : x = n para algún n ∈ una cota superior para A pues si n ∈ entonces n ≥ 1 de donde obtenemos 1 ≥ 1/n para cada n ∈ ,se sigue que cualquier elemento del conjunto es menor que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que 1 es cota superior, ya que 1 ∈ A.