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DOMINIO Y RECORRIDO DE LAS FUNCIONES
Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x).
Recorrido: Llamado también imagen, codominio o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).
Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: “conjunto de valores que puede tomarx…” ¿por qué decimos puede?
Porque no todos los valores son válidos,por ejemplo, si la función es: vemos que si a x le das el valor cero, te queda: 
El valor infinito no lo podemos representar si no es con un signo o una palabra.
El infinito no es un número, es un concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numérico de y.
Otro caso sería el de la función:
A x no le podemos dar el valor de un número negativo, por ejemplo: porque los números negativos notienen raíz cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su signo- puede darte un valor negativo).
Como nos hemos referido a conjunto de números válidos que damos a la variable independiente (X) como dominio y al conjunto de valores que recibe la variable dependiente (Y) recorrido podemos representarlos para la función : 

En amarillo, el conjunto de valores de x con sucorrespondiente imagen del valor de la variable dependiente y en el conjunto Y teniendo en cuenta que la función es:.
¿Cómo serían las representaciones gráficas de las funciones  y de 
Veamos la correspondiente a 

Comentario:
Si a x le das el valor -1, el valor de y será:
Si a x le das el valor -1,5, el valor de y será: , etc. Tal como lo tienes en la tabla de la izquierda.
Llevamos estos valores aleje de coordenadas y notarás que las ramas de las dos figuras que obtenemos se aproximan a los ejes a medida aumentan los valores de x. Por grande que sea el valor de x , por ejemplo, 1234, tendríamos:

Aunque x fuese mayor que un número 20 cifras, el cociente nunca sería cero, luego y puede valer 0,000000….. y todos los ceros que quieras que siempre aparecerá un valor que represente un valorque no sea igual a cero.
Esto hace que las ramas y los ejes parece que tiendan a juntarse.
Analizamos la función: 
En la siguiente figura puedes ver los valores que hemos dado a x:

Han sido positivos porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo.
Notarás que no hemos obtenido una línea recta como representación gráfica, esto se debe a que el exponente de x no ha sido 1 sino Recuerda que las raíces podemos convertirlas en potencias cuyos exponentes son fraccionarios correspondiendo el numerador, al exponente del radicando y eldenominador, al índice de la raíz siendo la base de la potencia el radicando:
          
Ejemplos: 

Tipos de Función
 
Recapitulemos sobre el tema Funciones:
Intuitivamente, la palabra función se refiere a una correspondencia de un conjuntocon otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes (X) y un conjunto de edades (Y), en que a cada estudiante le corresponde un número que es su edad en años.
 
Estudiante (Conjunto X)
Origen
Edad (Conjunto Y)
Imagen f(x)
José
19
María
18
Manuel
21
Soledad
18
Alberto
20
 
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se lellama función.
Recordemos la definición:
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, detal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.
En el ejemplo anterior el dominio es {José, María, Manuel, Soledad, Alberto} y el recorrido es {18, 19, 20, 21}.
La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función,...