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Universidad Autónoma de Aguascalientes

Centro de Bachillerato y Secundaria

UNIDAD VI UNIDAD VI: OBJETIVO PARTICULAR Al concluir la unidad el alumno: Identificara el concepto de derivada gráficamente y lo empleara para resolver varios problemas geométricos, físicos y sus aplicaciones APLICACION DE LA DERIVADA. 10 Hs CONTENIDO 6.1.- Interpretación grafica de la derivada 6.1.1.- Pendiente dela tangente a una curva en un punto 6.2.- Tangentes y Normales 6.2.1.- Ecuación de la tangente a una curva en un punto 6.2.2.- Ecuación de la normal a una curva en un punto 6.3.- Funciones Crecientes y decrecientes. 6.3.1.- Condiciones de la derivada para que una función sea Creciente o Decreciente. 6.4.- Valores Extremos (Máximo y Mínimo) 6.4.1.- Criterios de la primera derivada para el análisisde los valores máximos y mínimos de una función. 6.5.- Concavidad de una curva.6.5.1.- Puntos de inflexión. 6.5.2.- Criterio de la segunda derivada para el calculo de los valores extremos. 6.6.- Aplicación de los valores extremos La derivada como rapidez de variación

OBJETIVO PARTICULAR: Al concluir la unidad el alumno, Identificara el concepto de derivada gráficamente y lo empleara pararesolver problemas geométricos, físicos y sus aplicaciones

6.1- INTERPRETACION GRAFICA DE LA DERIVADA 6.1.1 - Interpretación geométrica de la derivada Sea la función y = f (x) Tal como se muestra en la fig. (1 ) Sea P un punto sobre la curva de coordenadas P(x1,y1), A toda variación de x representado por ∆x = TS, corresponderá una variación de y, que se representa por ∆y = RQ, con lo cual se pasa alpunto Q de coordenadas (x2, y2), así:

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Departamento de Matemáticas 2007

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y = f (x) y + ∆y = f ( x + ∆x ) Calculo el incremento (∆y) ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x) RQ ∆y Razón de incrementos ∆x ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) QR QR = = = ∆x ∆x TS PR = Tg θ = ∆y = Tg ∠ QPR,representa el ∆x angulo de inclinacion de la recta secante a la grafica de la funciòn que pasa por los puntos P y Q

Y = f(x) Q y P y1 x1 T Fig 1 S R

A

B

x

α

Note que: (A) es la secante a la curva que pasa por P y Q (B) es la tangente a la curva en el punto (P) al acercarse el punto (Q) hacia (P) El incremento ∆x se hará mas pequeño tanto como se quiera y cuando ∆x→0 la secante girara ytendrá como limite la tangente, así:

lim ∆y = Tg α, = m ∆x → 0 ∆x
Que es la pendiente de la tangente en el punto (P). Así se puede establecer el siguiente conclusión: desde el punto de vista geométrico El valor de la derivada en cualquier punto de la curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto.

m tan =

dy = y`= Tanθ dx

Ejemplo 1.6 Sea la función: y = x2Calcular la pendiente de la tangente cuando: x = 0, x = 1, x = 2 Como ya se sabe la derivada de: y = x 2 es: m = y’ = 2x así: m = Tg θ y’(0) = 2 (0) = 0 Tg θ = 0 θ = ∠Tg 0 = 00 Recta paralela al eje de las coordenadas y’(1) = 2 (1) = 2 Tg θ = 2 θ = ∠Tg 2 = 63.430
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y’(2) = 2 (2) = 4 y’(3) = 2 (3) = 6

Tg θ = 4 Tg θ = 6

θ = ∠Tg 4 = 75.960 θ = ∠Tg 6 = 80.530

Ejemplo 2.6 Calcular la pendiente de la tangente cuando: x = 0, x = 1, x = 2 Sea la ecuación, como se dan los datos de x, entonces se deriva con respecto a x (1) x 2 + y 2 = 25 Como se dan los datos de x, entonces se deriva con respecto a x −x (2) m = y' = y Calculo de y para losvalores dados De (1) se tiene: y = 25 − x 2

y 0 = 25 − 0 = 5 y1 = 25 − 12 = 24 y 2 = 25 − 2 2 = 21
m0 = −x 0 = = 0 Tg θ = 0 θ = ∠Tg 0 = 00 Recta paralela al eje de las coordenadas y 5 −x −1 m1 = = = −0.0416 Tg θ = - 0.0416 θ = ∠Tg -0.0416 = 92.650 y 24 −2 m2 = = −0.436 Tg θ = -0.436 θ = ∠Tg -0.408 = 116.190 21

Ejercicios 6.1 Hallar la pendiente de la tangente en el punto dado:
1.- 4 x 2 + 2...