Libro

1.2
m
ecuaciones con
n
incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana

17
En el sistema (1.2.10) todos los coe󿬁cientes
a
ij

y
b
i
son números reales dados. El problemaes encontrar todos los conjuntos de
n
números, denotados por (
x
1
,
x
2
,
x
3
,
. . . x
n
),

que satisfacen cada una de las
m
ecuaciones en (1.2.10). El número
a
ij
es elcoe󿬁ciente de la variable
x
j
en la
i-
ésima ecuación. Es posible resolver un sistema de
m
ecuaciones con
n
incógnitas haciendo uso de la elimina-ción de Gauss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un ejemplo en el que el número de ecuaciones e incógnitas es diferente.
Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
Resuelva el sistema
x
1

1
3
x
22
5
x
3

1

x
4

5
42
x
1

1
5
x
2

2
2
x
3

1
4
x
4

5
6
Solución
Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por ren-glones:135125244613510182
2222
||||
    
442
2
    
 → 
→→
22
R R R
2
2 2 1
1351018242
222
    
||
    
10197018222
222
||
R R
2 2
 →   → → →
22
R R R
3
1 1 2
Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coe󿬁ciente se encuentra en forma escalonada y redu-cida por renglones. Es evidente que existe un número in󿬁nito de soluciones. Losvalores de las variables
x
3
y
x
4
se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces
x
2

5
2
1
8
x
3

1
2
x
4
y
x
1

5

2
2
2
19
x
3

2
7
x
4
. Por lotanto, todas las soluciones se representan por (
2
2
2
19
x
3

2
7
x
4
, 2
1
8
x
3

1
2
x
4
,
x
3
,
x
4
). Por ejemplo, si
x
3

5
1 y
x
4

5
2 seobtiene la solución (
2
35, 14, 1, 2). Al resolver muchos sistemas, es evidente que los cálculos se vuelven fastidiosos. Un buen método práctico es usar una calculadora o computadora siempre que las...