LIBROCALCULO1



3.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Estosignifica que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central enla rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desdeArquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar aconceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que elestudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es laregla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.Primer teorema fundamental del cálculo



Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:


Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x)y b(x) derivables.
Demostración
Sea  integrable sobre  y


Entonces

Está claro que  para toda partición. Puesto que, la desigualdad se sigue inmediatamente.
Por definición se tiene que 
Seah>0. Entonces.
Se define  y  como:
,

Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,
Sea. Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
Entonces,
.
Puesto que, se tiene que
.
Y...