LibroEDOResueltos

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

1.

Separación de Variables
La ecuación general de primer orden y primer grado es de la forma
M dx + N dy = 0

(1.1)

donde M y N pueden ser funciones de x e y o de ambas. En algunos casos la ecuación (1.1) puede ser
expresada en la forma
A(x) dx + B(y) dy = 0

(1.2)

o sea, se ha reunido todos los términos de y en B(y) y todoslos términos de x en A(x).
La solución de (1.2) es
A(x) dx +

B(y) dy = C

donde C es constante que depende de las c.i.
Ejemplos
1) 2(y + 3) dx + xy dy = 0 separando variables queda
2
y
dx +
dy = 0
x
y+3
⇒ ln x2 + y − 3 ln(y + 3) = c
⇒ ey = c1

(y + 3)3
x2

c1 = ec ⇒ ey−c =

donde

(y + 3)3
x2

2) (x2 − 1) dx + xy dy = 0
x2 − 1
x2
y2
dx + y dy = 0 ⇒
− ln x +
=c
x
2
2
x2 + y 2 = 2c + ln x2
x2 + y 2= ln(cx)2

o

ex

2

+y 2

/2

= kx2

3) sen x sen y dx + cos x cos y dy = 0
sen x
cos y
dx +
dy = 0 ⇒ − ln cos x + ln sen y = c
cos x
sen y
sen y
= c ⇒ sen y = c1 cos x
cos x
2

4) xy 3 dx + ex dy = 0
2

x e−x dx + y −3 dy = 0
−

1
2

2

−2x e−x dx +

y −2
=c
−2

2
1
1
− e−x − y −2 = c
2
2
2

e−x +y −2 = −2c
2

e−x + y −2 = c

2

ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE PRIMER ORDEN

UTFSM

5) y sen x sen y dx+ dy = 0
dy
=0
y sen y
x ln x − x + ln(ln y) = 0
sen x dx +

ln xx + ln(ln y) = x + c.

Aplicación. Se ha establecido que la velocidad de la desintegración del radio es directamente proporcional
a su masa en cada instante. Determinar la ley de variación de la masa del radio en función del tiempo, si
para t = 0 la masa del radio es m0

Solución. Sea m la masa en el instante t y m + ∆m, en elinstante t + ∆t. La masa desintegrada durante el tiempo ∆t
es ∆m. La razón ∆m
es la velocidad media de desintegración. Luego:
∆t
l´ım

∆t→0

dm
∆m
=
∆t
dt

es la velocidad de desintegración del radio en el instante t.

Según la hipótesis:
dm
= −km
dt

(1.3)

donde k es el coeficiente de proporcionalidad (k > 0).
Ponemos el signo menos, porque a medida que transcurre el tiempo, la masa del radiodisminuye y por eso
(puesto que la función m(t) es decreciente, entonces dm
< 0)
dt
La ecuación (1.3) es una ecuación de variables separables. Separando variables:

dm
dt

<0

dm
= −k dt
m
⇒ ln m = −kt + c
⇒ m = c e−kt
como m(0) = m0 , entonces m0 = c.
∴ m = m0 e−kt .

2.

Ecuaciones Homogéneas de Primer Orden

Definición 1. La función f (x, y) se dice homogénea de grado k respecto a las variables x e y,si:
f (λx, λy) = λk f (x, y),

∀λ ∈ R \ {0}

Ejemplos
1) La función f (x, y) =

3

x3 + y 3 es homogénea de primer grado.

2) La función f (x, y) = xy − y 2 es homogénea de segundo grado.
3) La función f (x, y) =

x2 −y 2
xy

es homogénea de grado cero.

Departamento de Matemática

2

2

ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE PRIMER ORDEN

4) La función f (x, y, z) =

xy
z

+ x sen

y2
z2

UTFSM

es homogéneade grado uno.

1) Sean g(x, y), f (x, y) homogéneas del mismo grado, entonces

f (x,y)
g(x,y)

es homogénea de grado cero.

2) Si h(x, y) es homogénea de grado cero, entonces
f (x, y)
y
= h(x, y) = h 1,
g(x, y)
x

haciendo λ =

1
x

Es decir, la función homogénea de grado cero depende sólo del cuociente de las variables.
En este caso podemos escribir: h(x, y) = F (y/x) = h(1, y/x).
Definición 2.La ecuación de primer orden
M dx + N dy = 0
es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas del mismo grado respecto de x e y
Resolución de una ecuación diferencial homogéna
Consideremos la ecuación homogénea
(A)

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Luego (A) la podemos escribir de la forma
M (x, y)
dy
=−
=F
dx
N (x, y)

y
x

es decir:
dy
= F (y/x)
dx

(B)

Esta última ecuación se resuelveefectuando la sustitución v = y/x, es decir,
y = vx,

(2.1)
luego

dv
dy
=v+x
dx
dx

(2.2)

Sustituyendo (2.8) y (2.2) en (B), obtenemos
v+x

dv
= F (v)
dx

o sea:
dv
+ v − F (v) = 0
dx
x dv + (v − F (v)) dx = 0
x

dx
v
+
=0
x
v − F (v)
que es una ecuación de variables separables.

Departamento de Matemática

3

2

ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE PRIMER ORDEN

UTFSM
Ejemplos

1)

x2 − xy + y 2 dx − xy dy = 0....