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Universidad Andr´s Bello
e
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ingenieria
Algebra I FMM-009
Ayudante: Francois Moraga

Ejercicios Resueltos Conjuntos
2do Semestre 2008

Problema 1Problema 1.a
Soluci´n
o

Sabiendo que A, B, C ⊆ U demostrar que:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ≡ A

Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B c )
A ∪ (B ∩ B c )
A∪Ø
AProblema 1.b

≡
≡
≡
≡

A
A /Distributividad
A /Ley de Complementaci´n
o
A /Ley de Identidad

(A ∪ B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U

Soluci´n Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que:
o
(A ∪B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U
(A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c ≡ U
U
≡ U
Problema 1.c

/
/Ley de Morgan
/Ley de complementaci´n
o

(A − B) − C ≡ (A − C) − B

Soluci´n Utilizando propiedades, tenemos que:
o
(A− B) − C
(A ∩ B c ) ∩ C c
(A ∩ C c ) ∩ B c
(A − C) − B

≡
≡
≡
≡

(A − C) − B
(A − C) − B /Diferencia de conjuntos
(A − C) − B /Asociatividad, conmutatividad
(A − C) − B /Diferencia deconjuntos

Problema 1.d
Soluci´n
o

A − (B − C) ≡ A ∩ (B c ∪ C)

Utilizando propiedades, tenemos que:
A − (B − C)
≡ A ∩ (B c ∪ C)
c )c ≡ A ∩ (B c ∪ C) /Diferencia
A ∩ (B ∩ C
A ∩ (B c ∪ C) ≡ A∩ (B c ∪ C) /Ley de morgan

Problema 1.e
Soluci´n
o

C ∪ {[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]} ≡ A ∪ C

Por propiedades de conjuntos, tenemos que:

C ∪ {[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]}
C ∪ {[A ∩(B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C) ∩ Ac ]c }
C ∪ {[A ∩ (B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C)c ∪ A]}
C ∪ {A ∩ [(B ∩ C)c ∩ ((B ∩ C)c ∪ A)]}
C ∪ {A ∩ (B ∩ C)c }
(C ∪ A) ∩ (C ∪ (B c ∪ C c ))
(C ∪ A) ∩ (U )
(C ∪ A)

≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡

A
A
A
A
A
A
A
A

∪
∪
∪
∪
∪
∪
∪
∪

C
C
C
C
C
C
C
C

/Diferencia
/Ley de Morgan
/Asociatividad
/Absorci´n
o
/Distributividad
/Complementaci´n
o/Identidad

Problema 2

Si B − A = Ø demuestre utilizando algebra de conjuntos que:
[(A − C)c − (B ∪ C)c ] ∩ [A ∪ (C − B)] ≡ C

Soluci´n
o

Observese que si B − A = Ø, entonces B c ∪ A = U ....