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Estudio de la dependencia de la impedancia con la frecuencia
de un conductor metálico - Efecto Piel
E. Kropff, J. von Stecher. (kropff@cnea.gov.ar y von_stecher@ciudad.com.ar)
Laboratorio 5 - Departamento de Física - FCEyN - Universidad de Buenos Aires- Agosto 2000

Se estudia la impedancia de un tramo de cable cilíndrico
perteneciente a un circuito de corriente alterna. En el modelo setiene en
cuenta la variación de campo magnético dentro del cable, lo que arroja
como resultado una dependencia de la impedancia con la frecuencia,
tanto en la parte resistiva como en la inductiva(Efecto Piel). Se
comprueba el rango de validez del primer orden de aproximación de este
modelo.

I. Introducción
El
objetivo
del
presente
experimento es estudiar el efecto de la
conducción decorrientes alternas a lo
largo de un cable de cobre. En particular
se desea estudiar las desviaciones
respecto de la teoría simplista según la
cual todo elemento de circuito tiene una
resistencia y una autoinductancia
independientes de la frecuencia de la
corriente.
Cuando se hace pasar corriente
continua por un cable, la misma se
distribuye homogéneamente a lo largo
de la sección.Cuando, en cambio, se
utiliza
corriente
alterna,
la
homogeneidad se rompe y las cargas
tienden a acercarse a la superficie del
cable. Este fenómeno puede verse, en
las ecuaciones de Maxwell, como el
efecto de una fuente adicional de campo
eléctrico, a saber, la variación de campo
magnético dentro del metal.
Al suceder este corrimiento de las
cargas hacia los bordes del cable la
resistenciaaumenta debido a que la
sección efectiva del cable disminuye. Al
mismo tiempo disminuye el flujo de
campo magnético dentro del cable
(téngase en cuenta que el campo
generado por un cilindro es nulo en su
interior) lo que provoca que decaiga la
autoinductancia.

Típicamente se utiliza para
describir la importancia de este
fenómeno en casos específicos el
parámetro a/δ, donde a es elradio de los
cables involucrados y δ la distancia de
penetración (skin depth), dada por
δ=(2/σµω)1/2 en unidades SI. Aquí σ es
la conductividad del material, µ la
permeabilidad y ω la frecuencia de la
corriente. El fenómeno es poco
importante cuando el parámetro
mencionado es menor que 1.
Si se plantea el problema de un
cable cilíndrico por el cual circula una
corriente alterna, lacorriente j(r) y el
campo eléctrico E(r), donde r es la
distancia al centro, son paralelos al eje
del mismo, mientras el campo
magnético B(r) se encuentra en la
dirección angular. Combinando las
ecuaciones de Maxwell se obtiene:
d2E + 1 dE = 2iE
dr2
r dr
δ

(1)

despreciando las corrientes de
desplazamiento. La solución a esta
ecuación es:
E=AIo(r(2i)1/2) eiωt
δ
con

Dependencia dela impedancia con la frecuencia -E. Kropff, J. von Stecher.

(2)

1

A= (2i)1/2ωµI
4πRI1((2i)1/2a/δ)

(3)

Donde In es la función de Bessel
modificada de orden n e I es la
corriente. De esta manera, si Vs es el
potencial en la superficie del cable,
puede escribirse:
Vs = Z(w) I(t)

contrafase para frecuencias de entre 1 y
30 kHz.

Lock - in amplifier

(4)
a

donde Z esla impedancia
efectiva. Para llegar a este resultado se
tiene en cuenta que el circuito utilizado
para medir la diferencia de potencial Vs
entre dos puntos está pegado a la
superficie del cable1.
Puede obtenerse una expresión
aproximada para Z en potencias de
(a/δ=2(ωτ)1/2), donde τ es un tiempo
característico, τ =σµa2.
Así
quedan
definidas
la
resistencia y la inductancia efectivascomo:
R≈(l/πσa2)[1 + ω2 τ2/192] (5)
L≈(µl/8π)[1 - ω2 τ2/384]

(6)

aproximando a segundo orden.
II. Desarrollo experimental
En la Fig. 1 se muestra un
diagrama de la disposición de
instrumentos. Se utiliza un cable de
cobre de aproximadamente 2 mm de
diámetro. El circuito se cierra a través
de un cilindro, como se indica en la
figura, de manera de minimizar el
efecto del campo...