Lic. En Informatica

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Límites
Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial y del cálculo integral. Los conceptos fundamentales en cálculo, la derivada y la integral, son definidos a partir de otro, todavía más fundamental: el conceptode límite.

Noción intuitiva de límite
Nosotros utilizamos los límites muy frecuentemente, pero no los reconocemos como tales simplemente porque no estamos acostumbrados a pensar en términos de ellos. ¿Cómo medimos la velocidad de un coche? • Cuando viajamos en un coche es común revisar frecuentemente el velocímetro. • Supongamos que la velocidad que éste indica es de 45 km/hr. ¯ • Nosotrospodemos calcular la velocidad promedio v de un móvil dividiendo la distancia d recorrida por él entre el tiempo t que le tomó recorrerla. • En un instante, es decir, en un punto del tiempo, la distancia recorrida es cero. • ¿Cómo, entonces, medimos la velocidad para indicarla en el velocímetro? Profesor:
Puntualice que para calcular la velocidad en un instante, tenemos que sortear la división entrecero.

Ejemplo 1

Imagina que tienes que llenar un vaso con agua. Abres el grifo del agua y ésta sale a razón de 30 mililitros por segundo. Sabiendo que la capacidad del vaso es de 300 ml, ¿Cuánto tiempo requieres para llenarlo? • Como cada segundo se vierten 30 ml de agua al vaso, en t = 10 segundos está a su capacidad máxima. • Lo interesante de esto es que conforme el valor de t se acerca a10 el volumen de agua vertido en el vaso se aproxima cada vez más a 300 ml.

Ejemplo 2

Imagina que deseas calcular el valor exacto del número π. Sabiendo que el área del círculo unitario (de radio 1) es igual a π, vamos a encontrar una forma de ir aproximando el valor de esta constante geométrica. • Ya sabes que el área de un círculo de radio 1 es igual a π unidades cuadradas. • Entonces,podemos ir dibujando polígonos regulares en el círculo unitario (es decir, de radio 1), calcular el área de cada uno, y después aumentar el número de lados del polígono. • Sea n el número de lados del polígono dibujado en el círculo unitario, y hagamos que n vayan creciendo. Cuando n sea infinito, obtedremos el valor exacto del número π.
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Ejemplo 3

Profesor:Recuerde a estudiantes fórmula: Ac = π r2 donde Ac es el área del círculo y r es su radio. los la

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Decimos que π es el valor del límite al cual tiende el área del polígono inscrito en el círculo unitario.

A5

A6

A7

n=5

n=6

n=7

A8

A9

A10

n=8

n=9

n = 10

• Observa que conforme hacemos crecer el número de lados n, el área Andel polígono de n lados se acerca cada vez más al área de la círculo, que es igual a π, dado que su radio es 1. • El polígono regular que vamos dibujando inscrito al círculo tiene su propia área. Si hacemos que el número de lados de este polígono crezca mucho, su área cada vez se acercará a la del círculo. • Un matemático diría: «el límite del área del polígono inscrito a la circunferenciaunitaria cuando su número de lados tiende a infinito es π.»

Ejemplo 4

Luisa tiene una cuerda de un metro de largo. Como está aburrida y quiere matar el ocio, empieza a cortar la cuerda por la mitad exactamente. De los dos trozos que obtuvo, uno lo coloca en una mesa que está junto a ella y el otro trozo lo vuelve a partir por la mitad; de nuevo un trozo lo coloca en la mesa y el otro lo vuelve acortar por la mitad. Si ella realiza n cortes, ¿Cuál es la longitud de cuerda que está en la mesa? [?]

• Observa que cada vez corta la mitad de lo que le queda en la mano. • En el primer corte tiene medio metro en cada trozo. • Después de cortar la segunda vez tiene un cuarto. • Después de cortar la tercera vez tiene un octavo de metro, y así sucesivamente. • Esto es, 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16 1...