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A Hungerford’s Algebra Solutions Manual
Volume I: Introduction through Chapter IV

James Wilson
D4

I
b 0 = C0 (G) ≤ C1 (G) Gn−1 Γn G ≤ ≤ ≤ Local Ring

a2 , b a2 b

a a2 0

a2 , ab ab a3 b

≤ Cn−1 (G) ≤Cn (G) = G ≤ ≤ G1 Γ2 G ≤ G0 = G ≤ Γ1 G = G

II

0 = Gn ≤ 0 = Γn+1 G≤ Commutative Ring

− −

Field Integral Domain Unique Factorization Domain

−− −−

− − −

− − − −III Ring

Unital Ring Skew Field Principal Ideal Ring = Euclidean Ring ≤ C

Principal Ideal Domain

− − − −−−− − − − −− − −

Euclidean Domain ·········· ≤ 0 ··········

0

A

B

IV
0 A = B C ≤ 0 Published: April 20, 2003

≤ ··········

−−− −− −−− −−

− − −

− − −

−− − − −−−−− − − − − − − −− − − − − −− − −

−− − − −− − − − −− − −

c 2002-2003. James WilsonUniversity of Oregon, Portland State University. 3234 SE Spruce St. Hillsboro OR 97123 James.Wilson@scatter.com
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Contents
Prerequisites and Preliminaries .7 The Axiom of Choice, Order and Zorn’s Lemma .7.1 Lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3 Well-ordering. . . . . . . . . . . . . . . ..7.4 Choice Function. . . . . . . . . . . . . . .7.5 Semi-Lexicographic Order. . . . . . . . .7.6 Projections. . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Successors. . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Cardinal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1 Pigeon-Hole Principle. . . . . . . . . . . .8.2 Cardinality. . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Countable. . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4Cardinal Arithmetic. . . . . . . . . . . . .8.5 Cardinal Arithmetic Properties. . . . . . .8.6 Finite Cardinal Arithmetic. . . . . . . . . .8.7 Cardinal Order. . . . . . . . . . . . . . . .8.8 Countable Subsets. . . . . . . . . . . . .8.9 Cantor’s Diagonalization Method. . . . . .8.10 Cardinal Exponents. . . . . . . . . . . . .8.11 Unions of Finite Sets. . . . . . . . . . . .8.12 Fixed Cardinal Unions.. . . . . . . . . . I Groups I.1 Semigroups, Monoids, and Groups . . . . I.1.1 Non-group Objects. . . . . . . . . I.1.2 Groups of Functions. . . . . . . . . I.1.3 Floops. . . . . . . . . . . . . . . . I.1.4 D4 Table. . . . . . . . . . . . . . . I.1.5 Order of Sn . . . . . . . . . . . . . . I.1.6 Klein Four Group. . . . . . . . . . I.1.7 Z× . . . . . . . . . . . . . . . . . . p I.1.8 Q/Z –Rationals Modulo One. . . . I.1.9 Rational Subgroups. . . . . . . . . I.1.10 PruferGroup. . . . . . . . . . . . . I.1.11 Abelian Relations. . . . . . . . . . I.1.12 Cyclic Conjugates. . . . . . . . . . I.1.13 Groups of Involutions. . . . . . . . I.1.14 Involutions in Even Groups. . . . . I.1.15 Cancellation in Finite Semigroups. I.1.16 n-Product. . . . . . . . . . . . . . . I.2 Homomorphisms andSubgroups . . . . . I.2.1 Homomorphisms. . . . . . . . . . I.2.2 Abelian Automorphism. . . . . . . I.2.3 Quaternions. . . . . . . . . . . . . I.2.4 D4 in R2×2 . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 12 13 14 14 15...