Lic. en Operaciones Marítimas y Portuarias
1.1 INTEGRACIÓN POR PARTE
Se define como una doble sustitución. Este método se basa en la integración de la formula de la derivada del producto de dos funciones.
Sí u = f(x) y v = g(x); son funciones diferenciales entonces
d (uv) = u dv + vdu
y despejando udv queda
u dv = d (uv) – vdu
e integrando
∫ u dv = uv - ∫ v du
quees la formula del metodo de integración por parte.
La elección de quien es u y quien dv en el integrando es arbitraria, puede evaluarse más fácilmente el segunda integral que la primera.
Cuando se eligen las sustitución para u y dv por lo general se considera que dv es el factor más complejo del integrando y puede integrase directamente, y que u es una función cuya derivada es una función mássimple.
Ejemplo 1:
∫ x ln x dx
Procedimiento
u = ln x ∫ dv = ∫ xdx
du = dx /x v = ∫ x2/ 2
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ x ln xdx = x2 / 2 ln x - ∫ x2/ 2 * dx /x∫ x ln xdx = x2 / 2 ln x – x2 / 4 + c
Ejemplo 2:
∫ x e 2x dx
Procedimiento
u = x ∫ dv = ∫ e 2x dx
du = dx v = ½ e 2x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ x e2x dx = ½ e 2x - ∫ ½ e 2x dx
∫ x e2x dx = ½ e 2x - ¼ e 2x+ c
Ejemplo3:
∫ x2 cos x dx
Procedimiento
u = x2 ∫ dv = ∫ cos x dx
du = 2 x dx v = sen x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ x2 cos x dx = x2 sen x - ∫ sen x (2 x dx)
∫ x2 cos x dx = x2 sen x - 2 ∫ x sen x dx
Hay que aplicar otra vez la integración por parte paracalcular ∫ x sen x dx
u = x ∫ dv = ∫ sen x dx
du = dx v = - cos x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ x sen x dx = - x cos x - ∫ - cos x dx
∫ x sen x dx = - x cos x + sen x + c
sustituyendo en la original tenemos:
∫ x2 cos x dx = x2 sen x + 2 x cos x – 2 sen x + c
Ejemplo 4:∫ x sec 2 x dx
Procedimiento
u = x ∫ dv = ∫ sec 2 x dx
du = dx v = tan x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ x sec 2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx
∫ x sec 2 x dx = x tan x – ln │sec x │ + c
Ejemplo 5:
∫ tan-1 x dx
Procedimiento
u = tan –1∫ dv = ∫ dx
du = dx / 1 + x2 v = x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du
tenemos:
∫ tan-1 x dx = x tan-1 x - ∫ x dx/ 1 + x2
∫ tan-1 x dx = x tan-1 x – ½ ln (1 + x2) + c
1.2 INTEGRALES DE POTENCIA TRIGONOMETRICA
Se define como la implicación de unaoperación sobre una función trigonométrica. Mediante la aplicación de la formulas e identidades trigonométrica para evaluar integrales que contiene productos de potencia de función trigonométrica.
Caso 1:
(i) ∫ sen n x dx ó
(ii) ∫ cos n x dx
Donde n es un número entero positivo impar.
Ejemplo 1 (i):
∫ Sen5x dx
∫ Sen5 x dx = (sen2 x)2 sen x dx
= (1 - cos2 x)2 sen x dx
= (1 – 2 cos2 + cos4 x)2 sen x dx
= ∫ sen x dx – 2 ∫ cos x sen x dx + ∫ cos4 x sen x dx
usando
u = cos x
du = - sen x dx
∫ Sen5 x dx = - cos x + 2 ∫ cos2 x (-sen x dx) - ∫ cos4 x (-sen x dx)
= - cos x +2/3...
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