Lic. Sistemas Computacionales

Cap´ ıtulo 10 Optimizaci´n o
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10.1

Problemas de optimizaci´n o

Aqu´ se trata de lo siguiente: ı • Un problema de optimizaci´n consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras o palabras se trata de calcular o determinar el valor m´nimo o valor m´ximo de una funci´n de una ı a o variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debeser expresada como funci´n o de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que ´stas generan e igualdades entre las variables que permiten la obtenci´n de la funci´n de una variable que se quiere o o minimizar o maximizar. En este tipo de problemas se debe contestar correctamente a las siguientespreguntas: • ¿Qu´ se quiere en el problema? e • ¿Qu´ restricciones se tienen en el problema? e La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la funci´n que deber´ ser minimizada o o a maximizada. La respuesta correcta a la segunda pregunta dar´ origen a (al menos) una ecuaci´n que ser´ auxiliar para a o a lograr expresar a la funci´n deseada precisamente como una funci´n de una variable.o o

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canek.azc.uam.mx: 17/ 8/ 2007

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´ 10.1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

CAP´ ITULO 10.

Ejemplo 10.1.1 Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado. La siguiente figura representa la caja:

y

y

x x

Volumen de la caja, seg´n la figura: u V= x2y & V = 50 ⇒ ⇒ 50 = x2y; esta igualdad relaciona las variables del problema De esta ecuaci´n podemos obtener y como funci´n de x o viceversa, despejando a la variable elegida. o o El ´rea de la caja sin tapa: a A = x2 + 4xy Esta es la cantidad de material, que deseamos que sea m´nima; vemos que es una funci´n de dos variables ı o Despejamos a y de la “restricci´n” dada, esto es, de la f´rmuladel volumen: o o y= 50 x2

Sustituimos en el area y obtenemos una funci´n de una sola variable: o A(x) = x2 + 4x Derivando: A (x) = 2x − 200x−2 = 2x − A (x) = 2 + 200 2 x3 200 2x3 − 200 = x2 x2 400 =2+ 3 >0 x 50 x2 = x2 + 200 = x2 + 200x−1 x

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CAP´ ITULO 10. Calculamos puntos cr´ ıticos:

´ 10.1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

A (x) = 0 ⇒ 2x3 − 200 = 0 ⇒ x3 = 100 ⇒ x =

√ 3 100 cm

Esun m´ ınimo absoluto pues A (x) > 0 para cualquier x > 0. El valor correspondiente de la otra variable es: y= 50 100 3
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=

1 1 100 1 1√ 1 3 = 100 3 = 100 = x cm 2 2 100 3 2 2 2

Ejemplo 10.1.2 Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el ´reacercada sea m´xima. a a La siguiente figura representa los corrales contiguos:

y

y

y

x

x

Tenemos que el per´metro y el ´rea de los corrales que queremos que sea m´xima son, respectivamente: ı a a P = 4x + 3y = 300 Pero como y = 300 − 4x tenemos que 3 A(x) = 8 2x(300 − 4x) = 200x − x2 3 3 & A = 2xy

Derivando y obteniendo los puntos cr´ ıticos: A (x) = 200 − y como A (x) = − El´rea m´xima ocurre para x = a a 16 < 0 ⇒ se trata de un m´ximo. a 3 16 3 · 200 75 16 x=0 ⇔ x = 200 ⇔ x = = es el punto cr´ ıtico 3 3 16 2

75 m & 2 y= 300 − 150 = 50 3

que son las dimensiones pedidas. 3

´ 10.1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

CAP´ ITULO 10.

Ejemplo 10.1.3 Un terreno tiene la forma de un rect´ngulo con dos semic´rculos en los extremos. Si el a ı per´metro del terreno es de50 m encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el ´rea m´xima. ı a a El terreno lo representamos por la siguiente figura:
y

2x

x

El ´rea del terreno que queremos que sea m´xima es a a A = 2xy + πx2 El per´metro, P = 50 m, est´ dado por P = 2y + 2πx, por lo que ı a 2y + 2πx = 50 ⇒ y = 50 − 2πx = 25 − πx. 2

Si sustituimos este valor en la f´rmula del ´rea la tendremos...