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Páginas: 5 (1243 palabras) Publicado: 22 de diciembre de 2012
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar [pic]recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamentedeterminada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemanaeigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente,característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal
Definiciones
Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— puedeninterpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
• Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.[1]
• El valor propiode un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
• Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
• La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
• El espectro de una transformación en espacios vectorialesfinitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propiodel espectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que
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entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es unvector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, elvector Aw también pertenece a Z.
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Una onda estacionaria en una cuerda fija en sus cabos o, más concretamente, una función propia de la transformación correspondiente al transcurso del tiempo. A medida que varía el tiempo, la onda estacionaria varía en amplitud, pero su período no se modifica. En este caso el valor propio es dependiente del tiempo.
Sin embargo, el espacio geométricotridimensional no es el único espacio vectorial. Por ejemplo, considérese una cuerda sujeta por sus extremos, como la de un instrumento de cuerda (mostrada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante desde sus posiciones cuando ésta está en reposo pueden interpretarse como componentes de un vector en el espacio con tantas dimensiones como átomos tenga dicha cuerda.
Si se supone...
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