Licenciada

´ OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMATICAS 2010 ENTRENAMIENTOS DE SECUNDARIA NIVEL BENJAMIN PROBLEMAS DE CONTEO 1. ¿Cu´ntos cuadrados hay en la figura? a

2. ¿Cu´nto suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 17 + 18 + 19 + 20?¿Cu´nto suma 2 + 4 + 6 + · · · + 16 + 18 + 20? a a 3. ¿Cu´ntos n´meros menores a 1000 cumplen que son m´ltiplos de 3 pero no de 7? a u u 4. Se dibujan 100 rectas en un plano de tal forma quetodas se cortan y no hay tres que se corten en un mismo punto, ¿cu´ntos puntos hay? a 5. ¿Cu´nto vale 100 − 99 + 98 − 97 + · · · + 4 − 3 + 2 − 1? a 6. ¿Cuantos ceros tiene el resultado de la multiplicaci´n 26 × 27 × 28 × · · · × 47 × 48 × 49? o 7. Un caracol sube todos los dias 4 metros en un ´rbol en la ma˜ana y baja 1 metro en la noche, ¿en cu´ntos a n a dias el caracol alcanza los 16 metros dealtura? 8. Miam quiere vestir de gala, para ello tiene que elegir un traje,un chaleco,una corbata y un par de zapatos, si ´l tiene 3 corbatas, 4 trajes, 2 chalecos y 2 pares de zapatos,¿de cu´ntas formas se puede vestir Miam? e a 9. Si se quiere enfilar a Lobo,Yoni,Osito y Puc, ¿de cu´ntas formas se puede hacer? a 10. En la olimpiada hay cierta cantidad de entrenadores, se sabe que imparten ´lgebra,geometr´ y conteo, a ıa adem´s 3 imparten las tres materias, 7 imparten geometr´ y ´lgebra, 9 geometr´ y conteo, 8 ´lgebra y a ıa a ıa a conteo, 22 imparten ´lgebra, 25 geometr´ y 23 conteo,¿entonces cu´ntos entrenadores hay? a ıa a 11. ¿Cu´ntos de los 60 n´meros: a u 84, 2 · 84, 3 · 84, . . . , 58 · 84, 59 · 84, 60 · 84 son m´ltiplos de 60? u

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´ OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMATICAS 2010ENTRENAMIENTOS DE SECUNDARIA NIVEL BENJAMIN SOLUCIONES PROBLEMAS DE CONTEO 1. Contemos los cuadros de 1 × 1

notemos son 16. Ahora los de 2 × 2

Hay otros dos cuadrados en vertical. notemos que son 9. Ahora los de 3 × 3

notemos son 4 e incluyendo al cuadro de 4 × 4 tenemos un total de 16 + 9 + 4 + 1 = 30 cuadrados. 2. Notemos que 1 + 2 + 3 + · · · + 18 + 19 + 20 = 20 + 1 + 19 + 2 + 18 + 3 · ·· + 10 + 11 = (20 + 1) + (19 + 2) + (18 + 3) + · · · + (10 + 11) = (21) + (21) + · · · + (21) = 21(10) = 210 ya que se formaron 10 parejas. Ahora 2 + 4 + 6 + · · · + 16 + 18 + 20 = 2(1 + 2 + 3 + · · · + 8 + 9 + 10) y procedemos de manera an´loga pra a 1 + 2 + 3 + · · · + 8 + 9 + 10 como hicimos lo anterior asi 1 + 2 + 3 + · · · + 8 + 9 + 10 = 11(5) por lo que la suma es 11(5)(2)=110 3. Notemos queal efectuar a con a mayor a b obtenemos un cociente y un residuo, no es dif´ darse cuenta que ıcil b el cociente es el n´mero de m´ltiplos de b que se encuentran entre 1 y a, as` el n´mero de m´ltiplos de 3 antes u u ı u u que 1000 es el cociente de 1000 = 333 pero no queremos que sean m´ltiplos de 7, pero como son m´ltiplos u u 3 de 3, entonces no queremos a los m´ltiplos de 21, asi que contemoscu´ntos m´ltiplos de 21 hay que sean u a u menores a 1000, de manera analoga son el cociente de 1000 = 47 por lo que el resultado es 333 − 47 = 286. 21 4. Notemos los siguiente, si se dibuja una recta por ende no hay intersecci´n, si son dos hay una intersecci´n, o o si se agrega una tercera, ´sta intersecta a las dos anteriores por lo que hay 1+2=3 intersecciones si se agrega e una cuarta, ´staintersecta a las tres anteriores asi hay 1+2+3=6 intersecciones, al agregar una quinta recta, e ´sta intersecta a las 4 que ya habian por lo que hay 1+2+3+4=10 intersecciones. Asi que si hay 6 rectas hay e 1+2+3+4+5 puntos, si hay 30 rectas hay 1+2+3+4+. . . +28+29 puntos, asi que como tenemos 100 rectas entonces hay un total de 1+2+3+. . . +97+98+99=99(50) puntos. 5. Notemos que 100 − 99 + 98 − 97+ · · · + 4 − 3 + 2 − 1 = (100 − 99) + (98 − 97) + · · · + (4 − 3) + (2 − 1) = (1) + (1) + · · · + (1) + (1) = 50 ya que se formron 50 parejas. 2

6. Notemos que un cero al final de un n´mero indica que es multiplo de 10, dos ceros indica multiplo de 100, y u asi sucesivamente asi que basta ver cual es la potencia de 10 m´s grande que divide a ese producto, asi que a hay que encontrar 2 y 5...