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Método de Gauss y sus variantes.
Por Yani Betancourt Gonzalez

En lugar de definir el método de Gauss, lo ejemplificaremos y posteriormente discutiremos las posibles variantes.

Ejemplo 1: Resolver el SEL (Sistema de ecuaciones lineales) de orden 3 3 (al sistema inicial se le denomina Sistema Original):

2 x1  3x 2  x3  3    3x1  x 2  2 x3  0 SO33 5 x1  2 x 2  x3  9 Paso 1. Si el primer coeficiente de la ecuación 1 es distinto de cero, entonces se elige y lo llamamos pivote (el caso contrario será examinado después). Para este ejemplo, su valor es 2.

Paso 2. Eliminar la variable x1 de las ecuaciones que están debajo de la ecuación que contiene el pivote. Primero, eliminamos a x1 de la ecuación 2 del sistema original SO33 . Se hace lo siguiente:multiplicamos a la ecuación 1 por  3

 2  y el

resultado lo sumamos a la ecuación 2; es decir, aplicamos la tercera operación elemental a SO33 con k  3

2

y obtenemos el siguiente sistema equivalente:

2 x1 

3x 2 

x3  3

0 x1  7 x 2  1 x3   9 2 2 2 5 x1  2 x 2  x3  9

Que es igual a:

2 x1 

   7 x 2  1 x3   9 SE1 2 2 2  5 x1  2 x 2  x3  9 

3x 2 x3  3

Ahora, eliminamos a x1 de la ecuación 3 de SE1 aplicando la tercera operación elemental de la siguiente manera: Ecu 3  Ecu 3  k ( Ecu1) con k   5 . Y se 2 obtiene el siguiente sistema equivalente:

2 x1 

x3  3   7 x  1 x   9 SE  2 2 2 3 2 2  11 x 2  7 x3   3  2 2 2 3x2 

Nos olvidamos momentáneamente de la ecuación 1 de SE 2 para fijarnos únicamente enlas ecuaciones 2 y 3, que forman, digamos, un sistema de orden
2 2 :

 7 x 2  1 x3   9 2 2 2 7 x  3 11 x 2  2 2 3 2

Y procedemos a aplicar los pasos 1 y 2. Primero, examinamos el coeficiente de x 2 en la ecuación 2 y como es igual a  7 , se elige como pivote y eliminamos a x 2 2 de la ecuación 3; de esta manera obtenemos el siguiente sistema equivalente

2 x1 

    7 x 2 1 x3   9 SE 2 2 2  3   60 x3  120  14 14 3x2  x3  3

Observamos que éste sistema equivalente al sistema original SO33 tiene una forma escalonada triangular, en consecuencia, finaliza el proceso de eliminación y lo siguiente, es determinar los valores de x1 , x2 , x3 .

Paso 3. Aplicar la sustitución regresiva al sistema escalonado para obtener el valor o los valores de lasvariables. Primero, resolvemos la ecuación 3 del sistema

SE3 , la cual es más fácil de resolver y se hace despejando a x3 . De esta manera
obtenemos que x3  2 .

Ahora, sustituimos el valor de x3 en la ecuación 2 de SE3 para encontrar el valor de x 2 :

 7 x2  1 (2)   9  7 x2  7 2 2 2
De la ecuación 7 x2  7 se concluye que x2  1 . Por último, sustituimos los valores de x3 y x 2 enla ecuación 1 de SE3 . De esta manera, obtenemos que

x1  1.
La terna ( x1  1, x2  1, x3  2) es la solución del sistema SO33 y es única. De esta manera finaliza este paso y en general el proceso de resolución, ya que se ha encontrado la solución del sistema.

Ahora, para comprobar que la solución encontrada es solución del sistema original (por la posibilidad de una equivocaciónaritmética), verificaremos que efectivamente ( x1  1, x2  1, x3  2) es solución del sistema; aunque, como se dijo anteriormente, el método de Gauss garantiza que el valor o los valores encontrados, para el sistema escalonado, son solución del sistema original. Para verificar, basta con sustituir a ( x1  1, x2  1, x3  2) en cada una de las ecuaciones de SO33 , tal como se muestra a continuación:2(1)  3(1)  (2)  3   3(1)  (1)  2(2)  0   5(1)  2(1)  (2)  9 

 2  3  2  3  3 1 4  0    5  2  2  9 

 3  3   00   9  9 

Efectivamente, se comprueba que ( x1  1, x2  1, x3  2) satisface a cada ecuación del sistema SO33 ; es lo que esperábamos.

El ejemplo anterior nos permite observar la eficacia y eficiencia del pivote en el...