licenciado

Probabilidad y Estadística (I.I.)

Tema 3

Tema 3
PROBABILIDAD Y
COMBINATORIA

1.- Definiciones Básicas:
El objetivo del cálculo de probabilidades es el estudio de métodos de análisis del
comportamiento de fenómenos aleatorios en lo relativo a su comportamiento aleatorio y no a
otros aspectos del fenómeno considerado (Parzen, 1992). Veamos algunas definiciones
fundamentales:
Con elnombre de experimento describimos cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Hay que distinguir entre dos tipos de experimentos o fenómenos: aleatorios y deterministas.
Los fenómenos deterministas son los que obedecen a una relación causa-efecto y al variar poco
las causas varía poco el efecto. Es decir, aunque se repita varias veces, bajo condiciones dadas,
el resultado es previsiblesalvo, quizás, errores de medida. Por ejemplo, al disparar un proyectil
con el mismo ángulo de elevación y las mismas condiciones siempre describe la misma parábola.
Los fenómenos aleatorios se caracterizan porque al repetirse en condiciones análogas
indefinidamente presentan resultados impredecibles de antemano, dependen del azar y no
pueden pronosticarse con certidumbre. Por ejemplo, silanzamos una moneda al aire
repetidamente, no es posible garantizar que en un lanzamiento dado se obtenga cara, aunque se
conozca el conjunto completo de posibilidades para cada lanzamiento (cara, cruz). Más
formalmente, se dice que un experimento es aleatorio si cumple las siguientes condiciones:
a) El experimento puede repetirse indefinidamente bajo análogas condiciones.
b) En cada prueba delexperimento se obtiene un resultado, que pertenece al conjunto
de resultados posibles del experimento.
c) Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el
resultado particular que se obtendrá al realizarlo, aunque si se conoce el conjunto
de todos los resultados posibles.
El espacio muestral, que denotaremos por S ó Ω, es el conjunto de todos los resultados
posiblesde un experimento aleatorio. Puede ser de dos tipos:
a) Espacio muestral finito: Tiene un número finito de posibles resultados.
Ejemplo:
Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Experimento aleatorio: “Lanzar una moneda al aire dos veces”
Espacio muestral: S = {CC, CX, XC, XX}
b) Espacio muestral infinito: Tiene infinitos sucesoselementales. Si se corresponden
con los números naturales se trata de un espacio muestral infinito numerable.
Ejemplo:
Experimento aleatorio: “Nº de veces que hay que lanzar una moneda al
aire hasta obtener la primera cara”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, …, n, …}
En caso contrario, infinito no numerable.

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Ejemplo:

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Experimentoaleatorio: “Elección al azar de un valor en el intervalo real
[0,1]”
Espacio muestral: S = {infinitos valores reales entre 0 y 1}

Un evento o suceso del espacio muestral es cada uno de los posibles subconjuntos del espacio
muestral, cada uno de los elementos de ℘(S). Los denotaremos con A, B, C,… Al realizar el
experimento aleatorio se dice que se ha verificado el suceso A, si el resultado obtenidopertenece a A.
Ejemplo:
Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4},
{2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, …, {1,2,3,4,5,6} }
Cada uno de estos elementos es un suceso o evento.
Llamaremos sucesos elementalesde un experimento a cada uno de los resultados posibles de
un experimento aleatorio, es decir, a cada uno de los subconjuntos unitarios (de un solo
elemento) de ℘(S).
Ejemplo:
Experimento aleatorio: “Lanzar un dado al aire una sola vez”
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
℘(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4},
{2,5}, {2,6}, {3,4},...