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Teorema 1 de límites
Límite de una función lineal

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
límx→a mx+b=ma+b

Demostración
Para cualquier ϵ > 0 existe una δ > 0, tal que
si 0< |x – a| < δ entonces |(mx + b) – (ma + b)| < ϵ (3)

Caso 1: m ≠ 0.
Como 0 < |(mx + b) – (ma + b)| = |m| ∙ |x – a|, se desea encontrar una δ > 0 para cualquier ϵ > 0, tal quesi 0 < |x – a| < δ entonces |m| ∙ |x – a| < ϵ

o como m ≠ 0,
si 0 < |x – a| < δ entonces |x – a| <ϵm

Esta proposición se cumplirá si δ= ϵ/|m|; se puede concluir
si 0< x – a <δ y δ=ϵm entonces mx+b-ma+b< ϵ

Esto demuestra el teorema para el caso 1.
Caso 2: m= 0.
Si m= 0, entonces mx+b-ma+b=0 para todos los valores de x. De modo que se toma δcomo cualquier número positivo, cumpliéndose la proposición (3). Esto demuestra el teorema para el caso 2.

Teorema 2 de límites
Límite de una función constante

Si c es una constante, entoncespara cualquier número a

límx→ac=c

Este teorema se deduce del teorema 1 de límites tomando m=0 y b=c.

Teorema 3 de límites
Límite de la función identidad
lim x→ax=a

Este teorema de deducedel teorema 1 de límites tomando m=1 y b=0.

Teorema 4 de límites
Límite de la suma y la diferencia de dos funciones

Si límx→afx=L y límx→agx=M, entonces

límx→afx±gx=L ±M

En el enunciadodel teorema, el hecho de que
límx→afx=L y límx→agx=M
indica que los límites existen. En otras palabras el límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites, si los límites existen.Teorema 5 de límites
Límite de la suma y la diferencia de n funciones

Si límx→af₁(x)= L₁, límx→af₂(x) = L₂, …, y límx→afnx= Ln, entonces
límx→a[f1x ± f2x ±… ± fnx]= L1 ± L2 ±… ± Ln

Ellímite del producto de dos funciones se tiene mediante el teorema siguiente de límites. El teorema establece que el límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites si los límites...