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Capitulo I
Introducción a las funciones de dos o mas variables
Muchas magnitudes que nos son familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el área A de un rectángulo (A=xy) y el volumen V de un cilindro circular recto son ambas funciones de dos variables. Denotaremos una función de dos variables por una notación similar a la de las funciones de una sola variable.Así, 

Definición 1.1
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par (x, y) de D le corresponde un número real , entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de es el recorrido orango de f. |
Para la función dada por , llamamos variables independientes a x e y, siendo z la variable dependiente. Aligual que con las funciones de una variable, generalmente se usamos ecuaciones para describir funciones de varias variables, y a menos que se restrinja en otro sentido, suponemos que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está bien definida. Por ejemplo, el dominio de la función se supone que es todo el plano xy. Generalmente el dominio es un conjunto que representaregiones restrinjidas del plano xy.
Ejemplo 1.1
Encontrar el dominio de las siguientes funciones. 
  
Solución 
a) La función f está definida en todos los pares ordenados (x,y) tales que x sea distinto de cero y . Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están fuera del círculo o en la circunferencia, excepto los del eje y, como se muestra en la figura 1.1. 

figura1.1 
b) La función f está definida en todos los puntos (x,y) tales que . Es decir, el conjunto dominio está formado por todos los puntos al interior de la elipse , incluyendo la frontera como muestra la figura 1.2. 

figura 1.2 
Las funciones de dos variables pueden combinarse del mismo modo que las de una variable. Es decir, 
Suma o Diferencia 
Producto
Cociente 
La función compuesta dadapor se define solamente si g es una función de x e y, además f es una fucnión de una única variable. Entonces, 
Composición 
para todo (x,y) en el dominio de g tal que g(x,y) está en el dominio de f. Por ejemplo, la función dada por 

puede verse como la composición de la función de dos variables dada por y la función de una variable dada por .
Superficies
De la misma forma que lasfunciones de una variable, puede resultar muy importante, en lo concerniente al "comportamiento" de una función de dos variables, el dibujo de su gráfica. La gráfica de una función de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) para los que y (x,y) está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. En la figura 1.3 nótese que la gráfica de esuna superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en el dominio D. 

figura 1.3
Ejemplo 1.2
Dibujar la gráfica de la función . ¿Cuál es el recorrido? 
Solución 
El dominio D implicado por laecuación que define a f es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que . Por lo tanto, D es el conjunto de todos los puntos que están en interior o en el borde de la elipse dada por 

El recorrido de f consta de todos los valores tales que . Un punto (x,y,z) está en la gráfica de f si y sólo si 

Como vemos en la figura 1.4, la gráfica de f es la mitad superior de una elipsoide. 

figura 1.4En casi todos los software de representación gráfica tridimensional se utilizan las trazas. La figura 1.5 muestra la gráfica del ejemplo 1.2. |

figura 1.5 
Traza en el plano z=2
 
Curvas de nivel
Otra forma de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar, que asigna al punto (x,y) el escalar . Un campo escalar se puede caracterizar por sus curvas de nivel o líneas de...