Licenciado

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en elintervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.
Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo deanchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] xSumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando
|||| ! 0 (n ! "), tenemos
n
lim " [f(xi) - g(xi)] x
n ! " i=1
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también escontinua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
n
A = lim " [f(xi) - g(xi)] x =
[f(x) - g(x)] dx
n ! " i=1
Se usan los rectángulos representativos endiferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestrala figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
A = [f(x) - g(x)] x
= [(x2+ 2) - (-x)] x
A =
[f(x) - g(x)] dx
= [(x2 + 2) - (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 =
Lasgráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que seinterceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.
Aplicación
El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento...